Dreieck konstruierbar oder nicht?
Hi,
Ich muss morgen wahrscheinlich eine Mathe Arbeit nachschreiben und wollte euch fragen, wann man erkennt, dass ein Dreieck konstruierbar ist oder nicht. SSS und WSW weiß ich. Aber wie siehts mit SsW und SWS aus?
Hoffe jemand kann mir helfen😊
2 Antworten
Ich stelle mir einfach bildlich vor, wie ich das Dreieck konstruieren würde.
SSS: Eine Seite zeichnen, an den Enden jeweils Zirkelkreise mit den anderen Sietenlängen ziehen. Ergibt zwei gespiegelte Dreiecke.
WSW: Eine Seite zeichnen, an den Enden jeweils den Winkel der angrenzenden Seiten einzeichnen. Die können sich nur an einem Punkt schneiden.
SSW: Ich zeichne die Seite, an der der Winkel und die andere Seite dranhängen. Dann am einen Ende den Winkel und am anderen Ende einen Kreis mit dem Zirkel. Wenn die gewinkelte Gerade den Zirkelkreis nur berührt, gibts ein eindeutiges Dreieck. Wenn sie den Kreis schneidet, gibts zwei Schnittpunkte, also zwei Dreiecke. Ist also manchmal, aber nicht immer eindeutig bestimmbar.
SWS: Ich zeichne eine Seite, am Ende mit definiertem Winkel die andere Seite. Gibt zwei Punkte, die ich nur noch miteinander verbinden muss.
Alternative SSW und SWS: Wenns ein rechter Winkel ist, Satz des Pythagoras anwenden.
Ergäntung zu SSW: wenn die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, größer ist als die Seite, der der Winkel anliegt, gibt es zwar auch zwei Schnittpunkte, aber nur einen, der auf der richtigen Seite des Winkels liegt (außer beim rechten Winkel, aber dann ist die Figur symmetrisch)
Der Fall SSW muss differenziert betrachtet werden:
a) Gegeben sind 2 Seiten und der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel.
Dieser Fall ist nicht eindeutig. Es gibt 2 mögliche Dreiecke, die die gegebenen Bedingungen erfüllen.
b) Gegeben sind 2 Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel.
Dieser Fall ist eindeutig.
Richtig. Ich bin von prinzipiell konstruierbaren Dreiecken ausgegangen. Der Fall, dass eine Seite zu kurz ist, führt natürlich auch bei der Variante SSS zu Problemen (z.B. bei Summe (a + b) < c). Wenn der Kreis die Gerade berührt (rechtwinkliges Dreieck) (z.B. c = 4 cm, b = 2 cm , beta = 30°) wird der Fall a) in der Tat eindeutig. Der Fall beta = 45° ist da wiederum ein Sonderfall, weil dann 2 Seiten gleichlang sind.
Ergänzung zu Fall a): es kann auch sein dass Kreis und Gerade aneinander vorbeilaufen. Dann gibt es keine Lösung. Oder, dass Kreis und Gerade einander gerade berühren. Dann ist die Lösung eindeutig (und wir haben ein rechtwinkliges Dreieck)
Beispiel: b = 2 cm, c = 4 cm, beta = 45°. Hier ist b zu kurz, um a zu treffen.
Beispiel: b = 2 √2 cm, c = 4 cm, beta = 45°. Wir haben ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.