Diskrete Metrik Häufungspunkte wenn endlich?
Hallo! Ich habe total Probleme bei der Aufgabe b)
Ich finde gar keinen Ansatz, in beide Richtungen nicht. Könnte mir bitte wer helfen? 🙏🏻😩
1 Antwort
Was genau sagt denn die diskrete Metrik aus? Und wann hat eine Folge einen Häufungspunkt? Überlege dir zunächst mal was du überhaupt zeigen mußt. Der Beweis das alle Folgen in einem endlichen Raum mindestens einen Häufungspunkt bezüglich der diskreten Metrik haben ist trivial (warum?). Konstruiere nun in einem unendlichen Raum eine Folge die eben keinen Häufungspunkt bezüglich der diskreten Metrik hat. Was bedeutet in diesem Zusammenhang "unendlich" eigentlich genau?
Zunächst sind beide Ideen völlig korrekt. Nimm nun für die erste an das es in einem endlichen Raum eine Folge gibt bei der sich kein Element unendlich oft wiederholt und führe das zu einem Widerspruch (hinweis: Das würde bedeuten das jedes Element höchtens n mal vorkommt. Wieviele Elemente könnte die Folge dann höchstens haben?).
Oh wow danke toll. Jetzt krieg ichs hin. Vielen Dank super Anstöße <3
Diskrete Metrik: d(x,y)=0 für x=y und d(x,y)=1 für x≠y. Nun muss es für einen HP h für jedes ε im R+ unendlich viele n in N geben für die x[n] im Ball von h liegen. D.h. es muss ooooo jetzt merk ichs.
Damit h ein HP muss es für alle ε gelten, insbesondere ε=1/2, => für einen HP muss innerhalb der Folge quasi ein Element unendlich oft wiederholt werden. Die Menge aber ist endlich und die Folge unendlich lang, also muss mind. ein Element unendlich oft vorkommen, welches dann HP ist. Aber wie schreibe ich das mathematisch auf ich habe bei Analysis speziell immer so ein Problem das aufzuschreiben?
Und andere Richtung wäre (einfacher sogar):
Jede Folge xn in X hat mind. einen HP. Sei X={x1,x2,...}, dann hätte die Folge xn:=x1,x2,... keinen HP, weil für ε=1/2 ist der Ball von jedem X leer das krieg ich mathematisch hin, danke. Aber beim ersten verstehe ich es nur anschaulich.