Differentialgleichung, wie Lösen am Fall der Stokes-Reibung?
Hallo,
Ich versuche gerade eine Gleichung aufzustellen, in der ein fallendes, rundes Objekt geringer Masse auf Luftwiderstand stößt.
Nun habe ich etwas raus, wie ich nun bei Wikipedia gefunden habe: mv'=-mg-ßv (ß sei die Reibungskonstante)
Sieht also nach einer Differentialgleichung erster Ordnung aus, aber das v ist ja abhängig von t, sodass ich dv/dt haben möchte. Aber in der ganzen Gleichung kommt kein t vor. Wikipedia sagt salopp: "Diese Gleichung führt zu..." Aber wie?! Möchte ja nicht nur abschreiben, sondern selber darauf kommen..
Also nochmal kurz: wie komme ich von mv'=-mg-ßv auf v(t)=-mg/ß...... ?
https://de.wikipedia.org/wiki/Fall_mit_Luftwiderstand (hier ist das Ergebnis unter "Fall mit Stokes-Reibung" zu finden - recht weit oben)
Danke und liebe Grüße!
Patrick
1 Antwort
Hallo,
ist Dir klar, wie man eine inhomogene DGL erster Ordnung löst?
Dazu betrachtet man die homogene DGL, die heißt hier:
v'-ß/m*v=0
Die Lösung ist die e-Funktion v=C*exp(-ß/m*t)
Im zweiten Schritt sucht man dann EINE partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:
v'-ß/m*v=g
Ansatz ist hier eine Konstante k, deren Ableitung verschwindet, also vpart=k, vpart'=0, einsetzen:
-ß/m*vpart=g -> vpart=-g*m/ß
-------------------------------------------------------
Die vollständige Lösung des Problems ist dann die Summe aus der homogenen und der partikulären Lösung:
v=C*exp(-ß/m*t)-g*m/ß
C bekommst Du aus der Anfangsbedingung v(t=0)=0 - zu diesem Zeitpunkt beginnt der Fall
C*exp(0)-g*m/ß=0
C= g*m/ß
Einsetzen in den ersten Ansatz:
V=g*m/ß*(exp(-ß/m*t-1)
und das wars....
Bitte, gerne :-)
Ich habe aber tatsächlich einen Fehler im Vorzeichen gemacht. :-(
Die inhomogene DGL ist:
mv'+ßv=-mg
Daraus wird die homogene DGL
mv'+ßv=0
und ich dividiere noch durch m:
v'+ß/m*v=0
Die homogene Lösung stimmt, die inhomogene muss noch korrigiert werden. Probier's am besten selber, dann lernst Du am meisten.
Echt großes Danke! Man kann alles gut nachvollziehen und es macht es überschaubar. DGL hatte ich noch nicht viele, weswegen wohl wieder eine Aufgabe mit einer vorkommt. Verstehe soweit alles, nur nicht, wie du am Anfang direkt von
mv'=-mg-ßv
auf
v'-ß/m*v=0
kommst. Tut mir leid, falls es so einfach scheint. Danach habe ich aber den Rest auch verdaut!