Definition von Arcsinh(x)?
Hallo,
ich sitze grad an einer Mathe Aufgabe und habe als Lösung z=sinh(lnx^6).
Nun steht in den Lösungen irgendwas von 'Definition Hyperbolische Funktionen'
Kann mir bitte jemand sagen ,was damit gemeint ist? etwa das dann arcsinh(x) nur dort definiert ist?
Aber wie kommt man dann auf sinhx=1/2(e^x-e^-x) ist das irgendwie eine annährung an sinhx? Wenn ja , gibt es irgendeine Seite , die euch bekannt ist , die diese auch für andere Funktionen auflistet?
Danke:)
3 Antworten
Es gilt per Definition:
sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2
cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2
tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)
man vergleiche die Definition mit der eulerschen Formeln:
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2
tan(x) = sin(x)/cos(x)
Man erkennt also:
sinh(x) = i*sin(-ix)
cosh(x) = cos(-ix)
Dies ist gerade die Motivation für die Namensgebung wie sinh und cosh. Die Umkerfunktionen lassen sich dann leicht mittels umstellen herleiten:
sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2 = y
Substituiere e^x = z und multipliziere beide Seiten mit z
--> z² - 2zy - 1 = 0
--> z(1|2) = y +/- sqrt(y² + 1)
mit z = e^x > 0 folgt dann
--> z = y + sqrt(y² + 1)
Schließlich folgt dann mittels Resubstitution
--> x = ln(y + sqrt(y² + 1))
In der Anlehnung an die Umkehrfunktion des sin, dem arcsin, bezeichnet man diese Funktion als arsinh. Es gilt somit:
arsinh(x) = ln(x + sqrt(x² + 1))
mit
sinh(arsinh(x)) = x
Während sin(x) und cos(x) die DGL:
x´´ + x = 0
erfüllt, erfüllt sinh(x) und cosh(x) die DGL:
x´´ - x = 0
Da gilt: d/dx ( sinh(x) ) = cosh(x) und d/dx (cosh(x)) = sinh(x).
Diee Definitionen der hyperbolischen Kreisfunktionen lassen sich aus der Eulerschen Formel herleiten
(I) e^(i*phi)= cos phi + i sin phi
(II)e^(-i*phi) = cos phi - i sin phi
(I)-(II)
Dann wird die Differenz der beiden Eulerschen Formeln durch 2i geteilt, was rechts dem Sinuswinkel entspricht.
Das ist keine Annäherung sondern die Definition vom Sinus hyperbolicus
Wie @KunXz schon sagt. Aber eine mathematische Formelsammlung ist sicher kein Schaden wenn du dich mit solchen Funktionen rumschlagen mußt. Am umfangreichsten ist das Taschenbuch der Mathematik von Bronstein (liebevoll Der Bronstein genannt), aber da ist das Suchen und Finden aufgrund der Vielzahl an Informationen, die nciht gerade intuitiv geordnet sind etwas schwer. Für den Einstieg tuen es auch die Sammlungen von Papula oder von Merziger.
Danke!
Kennst du vielleicht einnen Begriff , was ich bei google eingeben kann um einen überbilk zu alle Funktionen die definitionen zu sehen?