darf man bei einem Binom die Wurzel ziehen?
dürfte man zb folgende Aufgabe y^2=(a+b)^2 einfach zu y=a+b umformen oder muss man vorher das Binom ausrechnen?
Schonmal danke im Voraus!
3 Antworten
Ja darf man.
Allerdings musst du hier eben die beiden Fälle
y1 = a+b
und y2 = -(a+b) betrachten.
Noch als Anmerkung allgemein müsste man hier beim Wurzelziehen sagen, dass man sich auf den Fall (a+b) >= 0 beschränkt.
Allerdings gilt hier für (a+b) < 0 dass mans auf -(a+b) umschreiben könnte um es wieder positiv zu machen ohne am Ergebnis etwas zu ändern.
Das würde dann auf y1 = -(a+b) und y2 = a+b führen also auf genau das selbe Ergebnis weil dieser Fall bei der Quadratischen Gleichung ja abgedeckt ist. Man muss eben hier nur aufpassen voraus sich das Wurzel ziehen ergibt und was man berechnen möchte.
Hier nur kurz noch als Anmerkung das ganze stimmt nicht wenn a+b negativ ist denn die Wurzel aus einer negativen Zahl wäre nicht definiert. Somit gilts streng genommen nur für (a+b)>=0
Man muss die beiden Fälle beachten, die sich generell beim Wurzelziehen ergeben, also z.B. links -y und y.
Dies ändert sich aber nicht wesentlich durch das Umformen des rechten Teils.
Du meinst sicherlich das richtige, aber so wie du es ausdrückst ist es falsch.
Sehe ich nicht so. Vielleicht hast du einfach nur Probleme, meine Ausdrucksweise zu begreifen? War halt sehr kondensiert.
"Beide Fälle, die sich beim Wurzel ziehen ergeben " Nein, es ergeben sie keine zwei Fälle. Die Wurzel ist als der positive Wert der beiden definiert die quadriert den Ausgangswert ergeben.
Das haben Mathematiker aus guten Gründen so festgelegt und daran kann keiner rütteln.
Das ist schlichtweg falsch und völlig absurd.
Die Wurzel ist jede Zahl, die quadriert das Argument ergibt.
Dies braucht man ja schon ganz fundamental bei der Bestimmung BEIDER Nullstellen von Parabeln. Du willst doch wohl nicht behaupten, dass die in der Mathematik nur eine Nullstelle haben?
Die Gleichung x2 = 9 hat zwei Lösungen: 3 und -3. Widersprichst du dem ernsthaft?
Nein was du da schreibst ist falsch: die Wurzel von 9 ist +3. Niemals nie nicht -3. Ich verwette mein Mathe-Diplom dafür.
Deine zweite Aussage ist richtig, weil sie eben nicht die Wurzelfunktion benutzt: die Gleichung x=9 hat zwei Lösungen, nämlich +3 und -3.
Ich weiß in der Mittelstufe wird gelehrt, dass man die Lösung dieser Gleichung durch Wurzelziehen ermittelt. Der Mathematiker (oder auch...in ) rollt bei so einer Aussage die Augen.
Nur mal als unterstützender Gedanke: Warum steht wohl in der pq-Formel vor dem Wurzelzeichen ein +- ????
Wenn die Wurzelfunktion beide Ergebnisse zulassen würde bräuchte man das doch gar nicht.... am Rande: es wäre dann auch gar keine Funktion- weil nicht eindeutig.
Deine zweite Aussage ist richtig, weil sie eben nicht die Wurzelfunktion benutzt: die Gleichung x=9 hat zwei Lösungen, nämlich +3 und -3.
Mit welcher Operation berechnest du die beiden Lösungen?
Zurück zu Titelfrage: Genau diese beiden möglichen Varianten müssen berücksichtigt werden. Mal abgesehen davon, dass das Argument auch positiv sein muss, wenn er es im reellen Zahlenraum lösen will.
Ich glaube, ich habe deinen Denkfehler entdeckt:
Es gibt ZWEI Lösungen für die Quadratwurzel, aber das SYMBOL Wurzel ist definiert als der Betrag. In Formelschreibweise mit Wurzelzeichen nimmt man daher immer die positive Lösung. Die beiden Lösungen kann man dann super praktisch als √x und -√x schreiben. Das meinst du bestimmt, oder?
Das bedeutet aber gerade NICHT, dass die Quadratwurzel nur eine Lösung hat. Sie hat zwei Lösungen, deswegen nutzt man das Symbol so.
Unterscheide die Operation und das Symbol.
Mensch, da hast du was gelernt heute.
Mit gar keiner Operation.
Weil ich einfach weiß dass sowohl +3 als auch -3 quadriert die 9 ergibt.
Wenn man unbedingt die Wurzelfunktion benutzen will muß man auf die beiden Lösungen hinweisen, indem man z.B. +- vor das Wurzelzeichen schreibt (wie dies üblicherweise bei der berühmten pq-Formel gemacht wird.
Ist dir klar, dass die Wurzelfunktion gar keine Funktion wäre, wenn die Eindeutigkeit nicht durch die positiv-Definition erzwungen worden wäre? Man könnte quasi fast nichts in der Mathematik damit anfangen. Deshalb hat die Mathematik das so definiert.
Deshalb diese unschöne +- Notation.
Ich räume ein, dass oftmals sogar Mathelehrer das nicht richtig kapiert haben und deshalb Unsinn im Unterricht erzählen.
Du lobst Wiki so. Dort steht zum Beispiel:
Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen grundsätzlich für die positive Lösung.
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen
Die spricht für meine Interpretation. Es gibt eben mathematische Operationen, die keine Funktionen sind. So ist das Leben.
Die Wurzel hat zwei Lösungen, man schreibt sie als √x und -√x, wobei das Zeichen die positive Lösung selektiert.
In der Titelfrage muss man diese beiden Lösungen berücksichtigen. Darum ging es hier.
Ganz ehrlich, mir scheint, Du weißt sehr viel darüber, aber fühlst dich etwas zu sicher und wichtig, was das angeht. Schalt mal einen Gang runter und denk drüber nach.
NEIN!!! Es gibt keine zwei Lösungen für die Quadratwurzel.
Die Quadratwurzel ist eine Funktion, die so definiert ist, wie ich es erklärt habe. Die Gleichung x=SQRT (y) hat aber zwei Lösungen, nämlich + SQRT(y) und - SQRT(y).
So ist die Formulierung richtig.
Deine Begriffe sind die falschen. Man unterscheidet nicht Operation und Symbol. Das Symbol ist ein Symbol das hat nur die Bedeutung die man ihm in den Konventionen gibt.
Man unterscheidet hier zwischen Wurzelfunktion und Lösung einer Gleichung in der die Wurzelfunktion benutzt wird.
Ich verweise nochmals auf die pq-Formel.
Warum wohl wird da ein +- vor die Quadratwurzel gesetzt, wenn die Wurzel sowohl ein positives als auch ein negatives Ergebnis hätte(wie du es schreibst)???? Ich hoffe, du hast jetzt wirklich was gelernt....
;-))
Bitte beachte: "Wurzel" soll hier immer "Quadratwurzel" bedeuten. Kubikwurzel ist was anderes, da braucht es keine Positiv-Definition.
...weil die pq-Formel auch mit dem Symbol Wurzel geschrieben wird, die den positiven Teil selektiert. Hättest du selbst drauf kommen können.
Mach, wie du willst. Das vergiss halt immer eine von beiden Lösungen... oder sind es doch zwei?!
Du stehst dir selbst im Wege.
Wir beenden das jetzt hier.
Dein Satz " Die Wurzel hat zwei Lösungen...." ist weiterhin falsch. Wurzel ist eine Funktion.
Schau nochmal in Wikipedia unter Quadratwurzel. Da steht: "Da die Gleichung x^2=y zwei Lösungen hat, definiert man die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Lösungen .... es gilt IMMER SQRT (y) >= 0."
Gute Nacht noch.... und ich behalte mein Diplom - dazu habe ich zu viele Semester Funktionentheorie absolviert um es hier dreinzugeben.
Ah, du hast eine Fixierung auf Funktionen und siehst das ganze Bild gar nicht. Alles klar.
Na, in den Naturwissenschaften braucht man beide Lösungen.
Operation, nicht Funktion. Muss doch zu begreifen sein.
" ...die du positiven Teil selektiert" jetzt bist du auf dem richtigen Weg. Der Mathematiker sagt dazu: die Quadratwurzel ist positiv (genauer nichtnegativ, wegen der Null) definiert.
Deine "Selektion" negiert jetzt deine Aussage, es gebe zwei Ergebnisse der Wurzel-Operation.
Meine Güte.
Die Operation liefert offensichtlich zwei Ergebnisse, die man mit +-Wurzelzeichen schreiben kann.
Natürlich braucht man beide Lösungen - sogar in der Mathematik .
Deshalb muss man es auch sauber formulieren.
Um deine Worte zu benutzen: die QuadratwurzelOPERATION liefert als Ergebnis IMMER den nichtnegativen Wert.....das macht sogar mein Taschenrechner so, ich habe es ausprobiert.
Wenn man die Wurzeloperation in einer Gleichung benutzt MUSS man auf positive und negative Lösungen hinweisen. Sonst fällt man durch in der Mathe klausur, der Prof haut einem die Diplomarbeit um die Ohren und scheitert in der Prüfung und bekommt nie niemals nicht ein Diplom.
Nein sie liefert OFFENSICHTLICH NICHT Zwei Ergebnisse, sondern genau eines. Tippe es in den Taschenrechner oder programmieren es oder nutze sonst ein geeignetes Hilfsmitteln es auszuprobieren. Sogar Excel macht es richtig.
Man schreibt +- weil die Wurzeloperation eben nur den nichtnegativen Wert liefert. Sonst bräuchte man es ja nicht. Das ist doch simpelste Logik.
Ich glaube, wir haben uns jetzt mehr als erschöpfend zu dem Thema ausgetauscht.
Wir werden da nicht auf einen Nenner kommen. Du betreibst Wortklauberei.
Meine Güte, leb einfach damit, dass ich eine andere Meinung habe. Es reicht langsam.
Ich brauche beide Lösungen. Jeder andere auch. Punkt.
Wie kann man so borniert sein. Langsam reicht es. Die Mathematik wird nicht wahrer oder unwahrer, weil man eine willkürliche Definition ändert. Über das WurzelZEICHEN sind wir uns einig. Über den inhaltlichen Sinn einer Quadratwurzel nicht.
Klar darf man die Wurzel ziehen.
Das ist eine Gleichung die darf man umformen, wenn man an ihrer Aussage nichts ändert.
Beachte: die Wurzel ist eindeutig als positiv definiert. Aber da du hier nach den Lösungen einer Gleichung suchst, musst du sowohl negative als auch positive Varianten betrachten.
ah sehr gut, vielen Dank für die schnelle Antwort! :)