C(n , k) = Pn(k , n - k)?

Hallo miteinander

Kann mir bitte jemand erklären, warum gilt, dass C(n, k) = Pn(k, n - k) gilt. Das heisst also, dass die Kombination ohne Wiederholung mit den Elementen n und den k Objekten das gleiche ist wie eine Permutation mit Wiederholung mit den Elementen n = k und n - k gilt. Warum ist das so? Also, sie entsprechen beide der gleichen Formel (n!) / ((k!) * (n - k)!) . Aber ich verstehe nicht, warum das so ist.

Danke im Voraus

Freundliche Grüsse

Antonym130

Answer 1

[MeRoXas]

Naja, rechne es doch direkt aus:

$\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{\left(n-\left(n-k\right)\right)!\cdot\left(n-k\right)!}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}=\binom{n}{k}$ Anschaulich bedeutet das, dass die Zahlen im Pascal'schen Dreieck, die ja jeweils gerade die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge sind, symmetrisch sind. Siehe auch im Bild.

Gerade durch die Symmetrie im Dreieck kommt man auf die Vermutung, dass C(n;k)=C(n;n-k) gelten sollte, was man dann rechnerisch nachweist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester