Frage von gf20109, 33

Bruch zum ganzzahligen Körper?

Hallo! Ich muss ein Gleichungssystem lösen über den Körper Z7. ich bekomme aber zum Teil gebrochene Zahlen raus.Ist es möglich die zu einer ganzen Zahl umzuformen?

Danke !!! LG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 13

Nach was du suchst sind die multiplikativen Inversen der Elemente, also wie man in Z/7 z.B. den Bruch 1/3 darstellt.

Lies dir am besten mal den Wikipedia-artikel "Lemma von Bézout" durch, vor allem den Beweis, denn dann siehst du, woher das folgende kommt:

Sind zwei ganze Zahlen a, b gegeben, dann bezeichne ggt(a,b) den größten gemeinsamen Teiler von a und b.

Dann existieren ganze Zahlen x, y, sodass ax + by = ggt(a,b).

Wieso nützt uns das? Wir wollen das multiplikative Inverse von a != 0 mod p herausfinden, und rechnen in Z/p (wichtig, dass p eine Primzahl ist).

Wir bekommen ganze Zahlen x und y, sodass ax + py = 1, da a kein vielfaches von p ist und p eine Primzahl, ist also ggt(a,p) = 1.

Wenn du dir diese Gleichung einmal anschaust, dann siehst du, dass py = 0 mod p, du bekommst also, dass a x = 1 mod p, also ist dieses x genau das multiplikative Inverse von x mod p, also könntest du symbolisch schreiben: "x = 1/a". Das ist natürlich unformell, aber wir schreiben es einfach mal so.

Das wichtige ist das Finden dieses x, das macht man mit dem euklidischen Algorithmus.

Beispiel: Wir wollen "1/4" in Z/7 berechnen, also rechnen wir einfach mal durch:

7 = 1 * 4 + 3

4 = 1 * 3 + 1

3 = 3 * 1 + 0

Jetzt rückwärts immer in die obere Gleichung einsetzen:

1 = 4 - 1 * 3 = 4 - 1 *(7 - 1 * 4) = 2 * 4 - 1 * 7, also ist 2 das multiplikative Inverse von 4, oder symbolisch: "1/4 = 2".

Wir rechnen nach: 2 * 4 = 8 = 1 mod 7, also stimmt alles.

LG

Antwort
von YStoll, 16

Ja, wenn a / b mod p keine ganze Zahl ist kannst du stattdessen (a+p) / b berechnen.

Beispiel für Z7:
3 / 5 = 10 / 5 = 2 mod 7.

Probe: 2 * 5 = 10 = 3 mod 7.

Evtl musst du den Schritt der Addition von p mehrfach ausführen.
Bsp wieder für Z7:
4 / 3 = 11 / 3 = 18 / 3 = 6 mod 7

Probe: 3 * 6 = 18 = 4 mod 7.

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