Besitzen alle deutschen Politiker, einschließlich neuer Amtsträger, automatisch Diplomatenstatus?

Keinesfalls.

Aber Bundeskanzler und Außenminister sind vom Amt her zur Leitung der Außenpolitik berufen und auch Minister, die zu internationalen Verhandlungen fahren, haben natürlich diplomatische Aufgaben.

Parteipolitiker, aber auch Bundestagsabgeordnete haben, solange sie sich nicht speziell mit Außenpolitik beschäftigen und entsprechende Aufgaben übernehmen.

Mehr dazu in der Wikipedia:

"Unter der Bezeichnung Diplomatenstatus werden im allgemeinen Sprachgebrauch bestimmte Vorrechte und Befreiungen verstanden, die Mitglieder diplomatischer Missionen und konsularischer Vertretungen sowie Bedienstete internationaler Organisationen bei ihrem Aufenthalt im Gastland genießen. Zu den Vorrechten zählen unter anderem der Schutz vor hoheitlichen Maßnahmen des Empfangsstaates, die Befreiung von seiner Gerichtsbarkeit und die Befreiung von allen direkten und teilweise auch indirekten Steuern.

Der Diplomatenstatus ist kein Rechtsbegriff und wird in den nationalen und internationalen Rechtsvorschriften im Allgemeinen nicht verwendet. Die Vorrechte und Befreiungen, häufig auch als diplomatische Vorrechte oder diplomatische Immunität bezeichnet, beruhen auf jahrhundertelang unter den Staaten praktiziertem Völkergewohnheitsrecht. Lediglich bei internationalen Organisationen konnte sich ein Völkergewohnheitsrecht noch nicht herausbilden, da diese vermehrt erst nach dem Ersten Weltkrieg (z. B. der 1919 gegründete Völkerbund) entstanden sind. Für internationale Organisationen werden diplomatische Vorrechte und Befreiungen erst durch die entsprechenden Vereinbarungen (Übereinkommen, Konventionen) in konstitutiver Weise begründet."

Nein, und die Amtsträger schon gar nicht.