Berührtangente
Hey Leute, ich habe mal eine Frage undzwar geht es um die Berührtangente. Meine Frage lautet: Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von f(x)= ax^2+b den Graphen von g(x)= 1/ x bei x= 1 berührt und wie lautet die Gleichung der Berührtangente ?
Es wäre sehr nett, wenn Ihr mir helfen könntet :-)
5 Antworten
Eine Berührtangente ist ein Pleonasmus.
geg.:
f(x) = ax²+b
g(x) = 1/x
ges.:
a und b, sodass f'(1) = g'(1)
Rechnung
Ableitungen bilden
f'(x) = 2ax
g'(x) = -1/x²
Die Steigung ist beiden Punkten gemein
2a*(1) = - 1/1²
⇔ 2a = -1
⇔ a = -½
f(x) = ax²+b
f(x) = -½ x²+b
Der Punkt ist beiden Funktionen gemein
-½ 1²+b = 1/1
⇔ -½ +b = 1
⇔ b = 1 ½
f͇(͇x͇)͇ ͇=͇ ͇-͇½͇ ͇x͇²͇ ͇+͇ ͇1͇ ͇½͇
Die Gleichung der Tangenten
h(x) = mx + b
mx = f'(x) = 2ax = -x
h(x) = -x + b
b herausfinden. Punkt der Geraden einsetzen. Ich wähle den Schnittpunkt:
g(1) = 1/1 = 1 ⇒ SP( 1 | 1 )
1 = -1 + b
⇔ b = 2
h͇(͇x͇)͇ ͇=͇ ͇-͇x͇ ͇+͇ ͇2
Schöner Spruch.
Einziger Unterschied vom Bildnis zu meiner Antwort ist, dass ich selbst von meiner Antwort profitiere.
"Wer rastet, der rostet."
der Wert beider Funktionen und die erste Ableitung beider Graphen muss am Berührungspunkt gleich sein. Bilde also die 1. Ableitungen beider Funktionen und setze sie gleich. Ebenso die Funktionen. Du kannst dann x und a so ausrechnen, dass beide Bedingungen erfüllt werden. Beachte dass der Logarithmus (der sicherlich auftauchen wird) nur für Werte > 0 definiert ist (jedenfalls in der Schule). Die genaue Lösung nenne ich dir nicht - vom Abschreiben lernt man nicht und Spaß macht nur, wenn man selbst nachdenkt und findet!
... ops. Statt Du kannst dann x und a so ausrechnen muss es natürlich heissen Du kannst dann a und b so ausrechnen ...
kein Ding... es sieht ja dann so aus oder ? -1/x^2=2a
Die Berührtangente an einen Punkt, ist ein Taylorpolynom ersten Grades:
T1(x) = f(a) + f'(a)(x-a) , wobei a die Stelle ist an die sich die Tangente anschmiegt.
Wenn du noch weitere Fragen hast, darfst du sie gerne fragen!
g(1)=1/1=1 also Berührpunkt (1/1)
1.Gleichung also a+b=1
zweite. Gleichung bekommst du durch f '(1) = g '(1)
2a=-1/1² ► a=-1/2 → b=1,5
und Berührtangente mit (1/1) und m=f '(1) aufstellen y=mx+b
Es muss gelten:
1) f(1)=g(1)
2) f´(1)=g´(1)
"Gib einem Hungrigen einen Fisch, und er wird heute satt...Gib ihm ein Netz zum Fischen, und er wird nicht mehr hungern."