Begründe mit Variablen: Für jede natürliche Zahl n gilt: n ist genau dann durch 28 teilbar, wenn n durch 7 und durch 4 teilbar ist. Wie kann man vorgehen?
Ich habe bisher auf Primfaktorzerlegung gebaut... man braucht ja für die Hinrichtung:
gegeben: 7 | n und 4 | n
zu Zeigen: 28 | n
n = x • 7 • 4
28 = 7 • 4
Aber das reicht noch nicht, oder? Sonst würde die Aussage ja auch für 2 | n und 14 | n gelten, was sie ja offensichtlich nicht tut (Gegenbeispiel z.B. n=42)
3 Antworten
Meinst du nicht Rückrichtung (durch 28 teilbar <= durch 7 und 4 teilbar)?
Es existieren a und b so, dass gilt:
- n = 7 *a
- n = 4 * b
- 7 *a= 4 * b
- a = 4*b/7 , d.h. b muss muss durch 7 teilbar sein (sodass b/7 eine ganze Zahl ist) und es ex. ein c mit b = 7*c. Entscheidend ist, dass 7 und 4 andere Primfaktoren haben müssen.
- n= 7 *a = 7 * 4* (b/7)
- n ist damit durch 28 teilbar.
Dein Gegenbeispiel ist keines, man rechne das durch:
- n = 2*a
- n = 14 * b
- 2*a = 14 * b
- a = 7 b
- n = 2 *a = 14 b, b ist beliebig wählbar, sodass keine analoge Äquivalenz angenommen werden kann.
Der Unterschied liegt hier: a = 4*b/7. a muss eine ganze Zahl sein, deswegen muss 7 4*b teilen. 7 teilt nicht 4, muss also b teilen.
Beim anderen musst du keine solchen Bedingungen an b stellen, weil a=14/7 b = 2 b kürzbar ist, genauso wie 14*2*(b/14)=28*(b/14) = 2 b
Ich danke dir wirklich sehr für deine Hilde! Aber ich glaube ich bin einfach zu doof dafür. Wieso kann man bei dem Zweiten auch a=14/7 b machen? Und wäre 28*(b/14) nicht 2 * b/14?
Danke für den Stern!
a=14/7 b kann man machen, weil das eine äquivalente Umformung der Gleichung ist. Man will Bedingungen an b stellen, die beim Zweiten nicht existieren. 28*(b/14) ist 2b. Wie kommst du denn außerdem auf die Gleichung 14*2*(b/14)=28*(b/14)? Sie stellt nicht n dar.
Es muss ne 7 und zwei zweien in der Primfaktorzerlegung haben, also ist es auch durch 28 teilbar.
Mit 2 und 14 funktioniert es nicht, da die beiden Zahlen gemeinsame Primfaktoren haben.
Bei der Primfaktorenzerkegung gilt auch die Potenz, die bei diesen Faktoren vorliegen. Bei der 4 liegt die Potenz der Zahl 2 bei 2 vor, bei der Zahl 2 liegt die Potenz von 2 nur bei 1.
14 ist nur durch 2 in der Potenz 1 teilbar.
Okay, wahrscheinlich melde ich mich mal wieder viel zu spät. Aber: Ich verstehe nicht genau, wo der Unterschied liegt zwischen den beiden Beispielen. Das Eine ist am Ende n= 4*7*(b*7)=28*(b/7)
Das andere ist 14*2*(b/14)=28*(b/14)
Wieso ist das Eine immer durch 28 teilbar, das Andere jedoch nicht?