Abstand Punkt Gerade?
ich habe hier eine Anleitung zur berechnung des Abstands von Punkt und Gerade. Ich habe aber immer noch nicht verstanden wie man das macht. Da steht irgendwas mit -1/m und mf-> -1/mf
kann es mir jmd nocheinmal mit diesen zwei Punkten als Beispiel erklären?
Q(-2/3) P(3/4)
2 Antworten
Die Anleitung finde ich auch etwas verwirrend.
Ich versuche es mal zu erklären.
Du hast eine Geradengleichung, z.B. y = 2 x + 1 gegeben und möchtest den kürzesten Abstand eines Punktes wie (3 | 2) zur Geraden berechnen.
Zuerst überprüfst du, ob (3 | 2) auf der Geraden liegt, indem du den Punkt in die Geradengleichung einsätzt.
2 = 2 • 3 + 1
2 = 7
Das ist falsch. (3 | 2) liegt also nicht auf der Geraden.
Nun musst du wie folgt fortfahren.
Du berechnest eine senkrechte (orthogonale) Gerade y = a x + b zur vorgegebenen Geradengleichung. Die Steigung dieser Gerade ist –1/m. Damit erhälst du
y = –1/m x + b.
Ziel ist es, dass der Punkt (3 | 2) auf dieser Senkrechten liegt. Wenn die Ausgangsgeraden die Steigung m hat, hat die Senkrechte die Steigung –1/m, in diesem Fall also –1/2. Dir fehlt nur der y-Achsenabschnitt. Um diesen zu berechnen setzt du einfach den Punkt (3 | 2) in die Gleichung ein und löst nach b auf, also
2 = –1/2 • 3 + b
b = 7/2
Unsere Geradengleichung der Senkrechten lautet also y = –1/2 x + 7/2.
Jetzt suchst du den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ausgangsgeraden. Denn der Abstand von diesem Punkt zum Punkt (3 | 2) ist der kürzeste, den (3 | 2) zur Ausgangsgeraden hat. Das liegt daran, dass die Gerade y = –1/2 + 7/2 senkrecht zu y = 2 x + 1 steht. Das können wir durch Gleichsetzen lösen.
y = 2 x + 1
y = –1/2 x + 7/2
=> 2 x + 1 = –1/2 x + 7/2
=> x = 1
Und damit
y = 2 • 1 + 1 = 3.
Nun haben wir den Schnittpunkt (1 | 3) berechnet. Den Abstand zwischen (3 | 2) und (1 | 3) berechnen wir nun mit dem Satz des Pythagoras.
√( (3 – 1)² + (2 – 3)² )
= √( 4 + 1 )
= √5
Das ist der kürzeste Abstand von (3 | 2) zur Geraden y = 2 x + 1.
Die Regel muss man halt kennen , die kannst du hier nicht erst herleiten
.
du brauchst hier eine Gerade die senkrecht auf der gegebenen steht .
Stehen zwei Geraden mit m1 und m2 senkrecht zueinander gilt diese Regel ( immer ! )
m1 * m2 = -1
.
hat die eine eine Steigung von -1/5 muss die dazu senkrechte die Steigung von +5 haben