Abgeschlossenheit zeigen von Gruppen und Verknüpfungen?
Ich muss in der Schule die Abgeschlossenheit davon zeigen, ich komme aber nicht auf die Lösung, kann mir jemand helfen?
2 Antworten
Abgeschlossenheit heißt: Wenn du ein Element a aus der Menge M hast und ein Element b aus der Menge M, dann ist die Verknüpfung a ° b ebenfalls ein Element aus M.
Da a aus M kommt, gibt es (nach Definition deiner Menge M) eine ganze Zahl n, sodass a = 3^n gilt.
Da auch b aus M kommt, gibt es eine ganze Zahl m, sodass b = 3^m gilt.
Nun musst du zeigen, dass a ° b (= a * b) wieder in der Menge M liegt. D.h. du musst zeigen, dass es eine ganze Zahl k gibt, sodass a * b = 3^k gilt. Wenn du unsere obigen Erkenntnisse zu a und b aber in den Term a * b einsetzt, sollte das offensichtlich werden.
Abgeschlossenheit:
Seien a,b in M beliebig. Dann ist a ° b = a*b= 3^n * 3^m = 3^(n+m) = 3^c mit c= n+m in Z. Also ist a°b wieder in M. Da a und b beliebig waren is M abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung °.
Also ist M abgeschlossen. Damit die Gruppe abelsch ist musst du die vier Eigenschaften zeigen, die hier https://de.wikipedia.org/wiki/Abelsche_Gruppe augelistet sind.
Grüße