Abel'sche Gruppe beweisen?
Ok, um abel'sche Gruppen zu zeigen, gibt es ja diese berühmten Axiome.
H1 : Abgeschlossenheit
H 2: Assozivitität
G2: Es gibt ein Neutrales Element
G3: Es gibt ein inverses Element
Es wird ja einmal abgebildet von R x R -> R und einmal in R³ x R³ -> R³...Warum ist die Gruppe dann abgeschlossen? Es wird doch in ganz andere Bereiche abgeildet. Gleiches gilt für Assozivität, Neutralität, usw
1 Antwort
Eine Gruppe ist abgeschlossen, wenn du Elemente dieser Menge verknüpfen kannst und das Resultat weiterhin in dieser Gruppe liegt. Das bedeutet für beliebige zwei Elemente aus G das Ergebnis der definierten Verknüpfung wiederum in G liegen muss. Wie muss das Ergebnis aussehen, um in G zu liegen? Die einzelnen Elemente im Ergebnis müssen dafür eine Eigenschaft aufweisen, das kannst du ja zeigen.
Der Rest sollte mit dem Input einfacher funktionieren.
Bsp. neutrales Element:
Finde ein Element, sodass dieses verknüpft mit jedem beliebigen Element x wieder x ergibt. Die Vorgehensweise ist ähnlich.
Naja, wenn ich eine Zahl z zu der Summe von zwei Zahlen x und y addiere, kommt wieder eine Addition raus.
Assozivität: (x+y) + z = x (x + y)
Neutral. Element: x + 0 = x
Inverses Element: x + - x = x, aber -x ist hier ja nicht definiert, weil wir als Def. und Wertebereich nur die reelen Zahlen zugelassen haben. Wie kann x dann einen negativen Wert annehmen? Als ich das in der Vorlesung gefragt habe, meinte mein Dozent ''Diese Frage ignorier' ich jetzt mal'.....was meint er damit?
und ist das jetzt schon ein beweis?
Vielen lieben Dank, ich glaub ich hab es jetzt von der Grundidee her verstanden. Verstehe nur nicht, wie genau, das mit 'zeigen' gemeint ist. Ich könnte ja jetzt einfach ein Element 'z' aus den natürlichen Zahlen einführen und dann einfach (x + y) + z = x + (y + z) (natürlich in Vektorschreibweie) hinpinseln. Und wenn ich z einfach x-beliebig definiere , würde es ja in dem Kontext gelten. Aber das ist doch kein Beweis. Ich könnte es natürlich auch mit Werten für x, y, z 'zeigen', aber das gilt auch nicht als Beweis. Also wie formuliere ich es formell, ohne einfach x-mal die Definition abzuschreiben.
Schau mal hier: https://i.imgur.com/Vn61Wbv.png (das ist noch nicht fertig)
Ich habe so einen Kreis für die Operation genommen, da es dort kein solches Symbol gab, ersetze es einfach jeweils dadurch. Die Vektoren kannst du auch mit Pfeilen drüber hinschreiben.
Du musst jetzt überlegen, wie du auf die rechte Seite der Gleichung kommst. Du kannst anwenden, wie die Definition des Operators lautet, das ist der nächste Schritt. Mach das mal als erstes. Danach steht dir noch zur Verfügung, dass (R, +) auch abelsch ist. Dann kannst du die Eigenschaften dafür verwenden und es etwas umformen und dann langsam wieder auseinander pflücken, bist du das Ergebnis hast
Bei a) hab ich jetzt einfach die Def. von den Axiomen aufgeschrieben und gesagt, dass sie gelten und dementsprechend umgeformt. Ob das schon ein Beweis ist.
bei b) einfach Verknüpfungstabelle angelegt und neutrale und inverse Elemente definiert.
bei c) hänge ich momentan. Es ist ja immer eine Gruppe, wenn alle Axiome zutreffen, also z.B. ein inverses Element exisitert. Ein inverses Element existiert, wenn in der Verknüpfungstabelle in der Zeile eine 1 steht. Habe es jetzt für die ersten Zahlen probiert, und bisher war es immer der Fall.
Klingt nicht nach einem Beweis. Dass sie gelten, musst du ja beweisen...
Für das inverse Element kann das bspw. so aussehen: https://i.imgur.com/TYQQFmC.png
Du musst nun noch begründen, warum x_1 + (-x_1) = 0 gilt. Außerdem musst du noch zeigen, dass 0 = (0, 0, 0) das neutrale Element ist. Ein Tipp: Es gibt genau ein neutrales Element.
Invers ist nicht korrekt. Für invers gilt: x + (-x) = 0. Wobei "-x" das inverse Element ist und 0 das neutrale Element.
Finde einen Vektor 0 des R³, sodass gilt: x + 0 = x
Finde einen Vektor inv des R³, sodass gilt x + inv = 0
Zeige, dass für beliebige Vektoren x, y, z gilt, dass (x+y) + z = x + (y+z)
Zeige, dass für beliebige Vektoren x, y gilt, dass x + y in R³ liegt.
Verwende dazu, dass (R, +) abelsch ist.
Zu deiner Frage: Was ist x? x ist ein Vektor und Minus bedeutet nur invers bzgl. Addition. In den reellen Zahlen gibt es auch die ein oder andere negative Zahl...
Nein, das ist kein Beweis.
Ein Beweis sieht so aus:
Seien x, y, z in R³ beliebig mit x = (x_1, x_2, x_3) usw.
Z. z.: (x+y) + z = x + (y+z)
Beweis:
(x+y)+z = ... = x + (y + z)
Schreibe hier am besten die Vektoren immer in der Form der Aufgabenstellung (ich mache das nicht, da das hier sehr nervig ist, immer Vektoren mit drei Werten niederzuschreiben).