Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

Hallo.

Ein Laborant soll mit 96%igem und 60% igem Alkohol ein Gemisch von 72% herstellen.

0,96x + 0,6y = 0,72(x+y)

Versehentlich hat er aber 40 Liter der ersten Sorte zu viel genommen, sodass die Mischung 78% ig wurde.

0,96(x+40) + 0,6y = 0,78(x+40+y)

Damit hätten wir unser Gleichungssystem:

0,96x + 0,6y = 0,72(x+y)
0,96(x+40) + 0,6y = 0,78(x+40+y)
.............
0,96x + 0,6y = 0,72x + 0,72y | - 0,72x | 0,6y
0,24x = 0,12y | : 0,24
x = 0,5y

Nun können wir das x in der zweiten Gleichung einfach mit 0,5y ersetzen:

0,96(x+40) + 0,6y = 0,78(x+40+y)
0,96x + 38,4 + 0,6y = 0,78x + 31,2 + 0,78y | -0,78x | - 0,78y
0,18x + 38,4 - 0,18y = 31,2 | - 38,4
0,18x - 0,18y = - 7,2 | x mit 0,5y ersetzen
0,09y - 0,18y = - 7,2
-0,09y = - 7,2 | : -(0,09)
y = 80

Noch x auflösen:

x = 0,5y
x = 0,5*80
x = 40

Er hätte also 40 Liter von dem 96%igen Alkohol und 80 Liter von dem 60%igen Alkohol mischen sollen. Stattdessen hat er versehentlich 80 Liter von dem 96%igen Alkohol mit 80 Liter von dem 60%igen Alkohol gemischt.

Kontrolle:

0,96*40 + 0,6*80 = 0,72(40+80)
86,4 = 86,4
........................
0,96(x+40) + 0,6y = 0,78(x+40+y)
0,96(40+40) + 0,6*80 = 0,78(40+40+80)
124,8 = 124,8

Haben richtig gerechnet.

Menge an Alkohol:

0.96x + 0.6y = 0.72(x+y)

Menge an Flüssigkeit:

x + y = (x+40) + y

Die erste Gleichung stellt das Verhältnis der Alkoholmengen im Gemisch dar und die zweite Gleichung stellt sicher, dass die Menge der Flüssigkeit gleich bleibt, obwohl der Laborant 40 Liter zu viel von der ersten Sorte genommen hat.

Lösen wir nun dieses Gleichungssystem nach x und y auf:

0.96x + 0.6y = 0.72x + 0.72y

0.24x = 0.12y

x = 0.5y

Setzen wir dies in die zweite Gleichung ein:

0.5y + y = (0.5y + 40) + y

1.5y = 40

y = 26.67

Also hätte der Laborant 26.67 Liter 60%igen Alkohol und 13.33 Liter 96%igen Alkohol nehmen müssen, um das gewünschte Gemisch herzustellen.