A) eine tangente zeichnet sich dadurch aus, dass sie nur einen schnittpunkt mit der funktion hat. wenn du f(x) also gleich g(x) setzt und nur eine lösung raus kommt, handelt es sich um eine tangente.
f(x) = g(x)
x^2 - 6x + 9 = 2x -7 |+7 - 2x
x^2 - 8x +16 = 0 | pq-Fomel anwenden
x(1/2 steht unten) = 4 +/- [wurzel aus 4^2 -16 ]
x = 4 (nur eine lösung, da term unter der wurzel gleich null wird)
dass es eine tangente ist, hast du schon mal bewiesen, jetzt musst du noch den berührpunkt ausrechnen. x = 4 hast du schon bestimmt. du musst also nur noch x = 4 entweder in f(x) oder in g(x) einsetzen, da das ja der punkt ist, an dem sich die beiden graphen schneiden. der einfachheit halber habe ich g(x) genommen.
--> g(4) = 2 * 4 - 7 = 1
BP (4/1)
B) die normale ist senkrecht zu der tangente. deswegen gilt
m(n steht unten) = - 1 / m(g steht unten)
--> m(n steht unten) = - 1 / 2
wir setzen m(n steht unten) in n(x) ein.
n(x) = -0,5x + r(beliebig gewählter buchstabe, normalerweise nimmt man dafür n, geht hier nicht)
setze BP (4/1) ein.
--> 1 = -0,5 * 4 + r
3 = r
--> n(x) = -0,5x + 3
C) f(x) muss gleich n(x) gesetzt werden, da ein schnittpunkt gesucht ist.
f(x) = g(x)
--> x^2 - 6x + 9 = -0,5x + 3 |+ 0,5x - 3
x^2 - 5,5x +6 = 0
x(1/2 steht unten) = - (-5,5/2) +/- [wurzel aus (-5,5/2)^2 - 6]
x(1 steht unten) = 1,5 v x(2 steht unten) = 4
--> n (1,5) = 2,25
--> n(4) = 1 (schon vorher bekannt, nicht im antwortsatz erwähnen)
BP(2 steht unten) (1,5(2,25)
