Der Denkfehler: Es gibt kein Koordinaensystem, das sich mit LG bewegt . Denn wie du ja weißt, beruht die RT auf der Annahme, dass die LG für alle Beobachter gleich ist. Dem gemäß müsste sich ein Photon relativ zu sich selbst mit LG bewegen; Widerspruch .

  Besorge dir möglichst das Kosmosbuch ===> Herrmann Römpp

   " Chemische Experimente, die gelingen "

    Es geht darum, dass du den Text gründlich durch arbeitest ( an Hand welcher Literatur auch immer ) Ein klassischer Versuch aus dem Jahre 1835; eine Mischung aus Eisen und Schwefel wird gegenüber gestellt der Verbindung FeS ( Natürlich kennt dein Lehrer dieses Experiment. )

  Vergleichen wir mal Translation und rotation .

   Masse  <===>  Trägheitsmoment

  ( linearer ) Impuls <===>  Drehimpuls

  Für den Impuls gilt ja ein Erhaltungssatz; der Gesamtimpuls des Schwerpunkts bleibt erhalten ( sofern nur innere Kräfte wirken ) Wäre mal ein geiles Experiment für die Schule mit einem Luftkissenfahrzeug; du musst aber ein Segel dran montieren. Neben das Fahrzeug baust du auf dem Versuchstisch einen Fön auf; wie stark muss er in das Segel blasen, damit sich das Fahrzeug in Bewegung setzt?

   Und jetzt setzt du den Fön auf das Fahrzeug. Keine noch so starke Blasstufe wird das Fahrzeug antreiben; eher fetzt das Segel. Der Gesamtschwerpunkt aus Fahrzeug + Segel + fön bleibt erhalten.

   Ich schick erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist. Es folgt aber noch ein Teil 2 .

 Ich vermute mal, dass es sich bei der Freisetzung von CO2 aus Karbonaten um eine exoterme Reaktion handelt - du müsstest aber mal nachsehen. Aber wie läuft die Reaktion ab, wenn du die Tablette in Sprudel oder Cola schmeißt? Dann wird doch das in der Flüssigkeit gelöste Gas ausgetrieben; und das verbraucht doch eindeutig Wärme. Dann dürfte es sich eher abkühlen.

  Dieser Editor ist schoion wieder zusammen gebrochen; wann hört das endlich; endlich auf?

  Ich komme aus einem Welt-Elektronikkonzern; mein Chef hatte keine
Ahnung ( Warum also solltest du sie haben? ) ( Und der Knabe kriegt mehr
Geld als ich ! ) Mit das Erste, was mir auffiel - und es handelte sich
nur um die Berechnung von Figuren in der Ebene - es spielt keine Rolle,
ob du den Nullpunkt deines Koordinatensystems in den Andromedanebel
verschiebst. Das ist nämlich das Erstaunliche hinter dem Kreuzprodukt;
hat euch das euer Lehrer / Professor überhaupt gesagt? Wenn du ein
ebenes n-Eck berechnen willst - beschränken wir uns hier auf das Dreieck
ABC - so kannst du es in die drei Teildreiecke zerlegen

               OAB  ;  OBC  ;  OCA      (  1  )

    
Diese drei Teilflächen hängen zunächst nach Betrag und Orientierung von
O ab. Das " Frappante " ( Karl Valentin; " die Firmung " ) ist nun,
dass im Sinne des Superpositionsprinzips diese drei Kreuzprodukte nach
Betrag und Richtung die resultierende Fläche ABC ergeben. Schon immer
hatte ich mich gefragt, wieso du eine Fläche durch einen Normalenvektor
darstellen kannst; was da  der Sinn dahinter ist. Hier hast du die
Antwort.

      A  :=  (2/0/1)  ;  B  :=  (0/2/1)  ;  C  :=  (0/0/3)         (   2  )

     O fällt ja hier zusammen mit einer Ecke.

       OAB  =  1/2  A  X  B  =  1/2  (  - 1 * 2  |  - 2 * 1  | 2 * 2 )  =  ( - 1 | - 1 | 2 )   (  3a  )

     Hier ich geb dir mal'n ganz heißen Tipp

http://schule-benz.de/schule-benz/kreuzproduktrechner/kreuzproduktrechner.php

     OBC  =  1/2  B  X  C  =  3  (  1  |  0  |  0  )       (  3b  )

    OAC  =  1/2  A  X  C  =  -  3  (  0  |  1  |  |  0  )   (  3c  )

    ABC  =  OAB  +  OBC  +  OCA  =  ( 3a ) + ( 3b ) - ( 3c ) =  2  (  1  |  1  |  1  )      (  3d  )

   Damit folgen für den Betrag der Fläche nach Pythia und Goras

   OAB  =  sqr  (  6  )  ;  OAC  =  OBC  =  3  ;  ABC  =  2  sqr  (  3  )    (  4  )

  
Die Volumenformel findest du in Wiki; ich hab nämlich auch nix anders
gemacht als in Wiki nachgesehen. Das Spatprodukt kannst du aus den
bisherigen Ergebnissen als Skalarprodukt rechnen und hast obendrein noch
die Probe. Oder du nutzest die Funktion in einem eleganten online
Matrixrechner, der dir ja auch Determinanten berechnet.

  Selbst Mathe-einser " Wolfram " war bei uns in Kl. 8 immer noch ( ! ) verworren.

   Eine Subtraktion - GIBT ES GAR NICHT .

   Schau dir mal die Axiome einer ===> Gruppe in der Matematik an.

  Beispiel Addition.

   1) Abgeschlossenheit; zu zwei Zahlen a und b bildest du ihre Summe a + b

   2) ===> Assoziativität; es gilt

   a + ( b + c ) = ( a + b ) + c    (  1  )

    3) neutrales Element; bei der Addition ist das die Null:

    0 + a = a  (V)   a      (  2  )

  ( Dieses komische Symbol (V) ist der ===> Allquantor ===> Quantorenlogik und bedeutet: " Gilt für alle a"

   Inverse Elemente; ich schreib das jetzt wieder mit quantoren

 (V) x (E) (- x ) = ( - x ) ( x ) | ( - x ) + x = 0  ( 3a )

  Schreck lass nach; was heißt das in Worten? (E) ist der Existenzquantor; (E) Gott eürde also bedeuten: " gott existiert "

  " Für alle x existiert ein ( Minus x ) ; jetzt sage ich, dieses ( Minus x ) ist gleich einer Funktion von x , hängt also von x  ab. Der senkrechte Strich ist eine Definition; wie ist dieses ( Minus x ) definiert? Durch die Gleichung

     ( - x ) + x = 0 = neutr. Element  ( 3b )

   ( Gruppenaxiome findest du in Wiki )

   Wenn da also steht

  2 + ( - x ) = 0    ( 4a )

   Das bedeutet es nämlich in wirklichkeit. Dann tust du auf beiden Seiten das Inverse von ( - x ) addieren; überleg dir, dass das Inverse von ( - x ) wieder x  ergibt:

   - ( - x ) = x    ( 4b )

   Noch Fragen? Jeder Zeit.

  Eine ÄUSSERST kluge Frage. Wer so fragt wie du, bringt bereits die Prädisposition zum Matematikstudium mit.  Lehrer mögeh es i.A. gar nicht gerne, wenn Schüler derartige Punkte als ernstes Problem erkennen.

  Das MIT ABSTAND beliebteste Verfahren, den Scheitel einer Parabel zu ermitteln, ist die ===> Differenzialrechnung aus der höheren Matematik. Und zwar wenn eine Funktion y = f ( x ) differenzierbar ist auf dem ===> Intervall [ a ; b ] und x0 ist ein ===> innerer Punkt dieses Intervalls. Wenn x0 ein Extremum von f ist, so folgt, dass die ===> erste Ableitung f ' ( x0 ) verschwindet.

   Ist die Existenz der Nullstelle von f ' gesichert? Ja; durch den ===> Zwischenwertsatz ( ZWS ) der reellenA nalysis ( Der Support teilte mir mit, wir dürfen das WortA nalysis gar nicht benutzen; dies habe nichts zu tun mitA nal, sondern damit, dassA nalysis den Tatbestand des Landesverrats erfülle. )

   D.h. wenn du dir mal die Aussage des ZWS zu Gemüte führst; du brauchst schon den vollen Aparillo der reellen Zahlen; rationale Zahlen wären für die Zwecke der ===> Kurvendiskussion eindeutig zu wenig. Denk daran, dass die Funktion

      f  (  x  )  :=  x  ²  -  2     (  1  )

   gar keine rationalen Wurzeln hat; auf den rationalen Zahlen gilt der ZWS überhaupt nicht.

   So; und bereits eine elementare Betrachtung lehrt, dass die erste Ableitung eines quadratischen Polynoms LINEAR ist. Demnach suche ich die NULLSTELLE EINER LINEAREN GLEICHUNG; und die ist teivial rational. Das ist die Antwort auf deine Frage.

    Nutzanwendung; du besorgst dir Band 1 Courant / Hilbert und lernst Differenzialrechnung ( als Streber. ) Wer keine Differenzialrechnung beherrscht, der sieht die Mathematik ( vergleichbar ) an mit den Augen eines Kindes, welches noch an Sandmännchen und den Klapperstorch glaubt ...

   Und jetzt zu deiner Frage nach den Wurzeln einer quadratischen Gleichung; kannst du schon ===> Polynomdivision ( PD ) ? Dann besorg dir doch mal ein gescheites Algebrabuch; etwa ===> v.d. Waerden oder ===> Artin. Auch das Skript von Otto Haupt ist ganz fantastico.

  Was du lernen sollst: Was ist eine ===> Körper-Erweiterung; und was versteht man unter einem ===> Minimalpolynom?

  So ein ===> Zahlenkörper sind z.B. die rationalen Zahlen |Q . " Zahlenkörper " heißt hier nur: Die 4 Grundrechnungsarten sollen unbeschränkt ausführbar sein.

  Gehen wir ganz typisch aus von den rationalen Zahlen |Q .  Aus dem ===> Satz von Vieta folgt nun eine ganz elementare Alternative, die du dir bitte klar machen sollst: Entweder ein quadratisches Polynom ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt bereits über |Q 

( Ach übrigens; ich schmeichle mir, über letzteren Fall selber geforscht zu haben. Bei mir verläuft die Front; hier biste richtig. )

   Was ist die Mitternachtsformel? Akademisch gesprochen, tust du zu jeder quadratischen Gleichung ihren ===> zerfällungskörper konstruieren.

   Besonders intressant; in der Literatur doch bissele stiefmütterlich behandelt: der ===> algebraische Abschluss ( AA ) eines Körpers.

   Macht das Internet dumm? Dann schau dir mal an, was Wiki über den AA für feine Sächelchen zu vermelden weiß ...

   Der mit Abstand wohl berühmteste AA ; den AA der reellen Zahlen bilden die ===> komplexen Zahlen ===> Fundamentalsatz der Algebra 

  Fragen, Bemerkungen, Anregungen?

  Hier das machst du mit einem fiesen Trick. Sagen wir v1 = 30 m/s . Dann folgt aus dem Energiesatz

  1/2 v1 ² = g h1    ( 1 )

  Jetzt setzen wir v2 := 10 m/s . Welche Höhe h2 muss durchfallen werden?

  1/2 v2 ² = g h2   ( 2 )

  Die Antwort: h1 - h2

  Also jedem Teilchen ist ja die ===> Compton-Wellenlänge L zugeordnet

     L 
=  h / m0 c

     Aber Photonen sind ja Masse los. Eine de-Broglie-Wellenlänge haben sie freilich

   p =  h /  l

   Diese QM Bedziehung gilt allgemein; jeder Schallwelle könntest du auf diesem Wege z.B. Phononen zuordnen.

   Unser genialer Prof " Ernat Harry " sagte uns in der Teorievorlesung, dieses h ist quasi der " Link " zwischen den Kenngrößen des Wellen-und des Teilchenbildes. Weil es gibt ja eine ===> erste Quantisierung ( Q1 ) so wie eine Q2 .

   Z.B. in Q1 erscheinen nur die Atome quantisiert; es ist überhaupt nicht einzusehen, warum ein Elektron auf einer angeregten Bahn herunter springen soll in den Grundzustand. Das würde da ewig kreisen. Weil die elektromagnetischen Felder werden behandelt als klaschische Felder.

  Dagegen in Q2 hast du diesen Welle-teilchen-Dualismus; die Heisenbergsche Unschärfe und die ===> Vakuumpolarisation erlauben, dass auch im Vakuum kurzzeitig Photonen entstehen. Und dieses Hintergrundrauschen der Photonen rüttelt so lange an dem Elektron, bis dass es runter fällt.

   Ganz typisch für Q2 ist eine Unschärfe zwischen Phase und Teilchenzahl. Entweder du kennst den Gangunterschied zwischen zwei Wellen im Interferometer ( Wellenbild ) , oder du weißt, wie viel Teilchen jeweils durch die beiden Spalte / Arme des Interferometers gegangen sind ( Teilchenbild )

  Und das Produkt der beiden Unschärfen kann nie kleiner sein als h .

  Dies ist jetzt Teil 2 meiner Antwort. Dieser Editor ist schon bissele kryptisch; ich schrieb, Beziehung ( 1.1 ) kann unmöglich gelten, weil, gemessen an ihrer Quadrartmeterzahl, die Bahn B eine ===> Nullmenge ist.

   Fehlerberichtigung; der Satz unmittelbar über ( 1.2a ) muss heißen

Wenn X0 € K und du wartest nur eine u n b e g r e n z t e  Zeit t0 ; ich hatte Nonstandard Zeit t0. Das wäre falsch ( warum? )

   Dann nach ( 1.2b ) geht wieder ein Satz von mir verloren

  " Nelsons äußeres Prädikat ' Standard ' vergleiche ich immer mit dem Prädikat Farbe beim Farbfernsehen. "

   Der letzte Satz nach ( 1.3 ) war

Genau genommen " Meter hoch 6 (E23) " , weil EIN Phasenpunkt stellt das ganze System aus (E23) Teilchen dar.

  Und jetzt geht dieser geniale Knabe, dessen Name mir entfallen ist und der in der Literatur praktisch tot geschwiegwen wird - der geht her und fragt sich

  " Hoppla; WARUM berechne ich eigentlich das Phasenvolumen so, wie ich das tue? "

  Man kennt das; das Wahrscheinlichkeitsmaß diskreter Ereignisse ergibt sich aus der Entropie, der " maximalen Unwissenheit " nach Claude E. Shannon und Norbert Wiener. Aber wie bemisst sich ein kontinuierliches statistisches Maß?

   Wir betrachten jetzt mal die Hyperebene U , auf die das System eingeschränkt ist auf Grund der Zwangsbedingungen, die durch die ganzen Erhaltungssätze gestellt werden. Wir wollen einmal bewusst voraus setzen, dass es keine verborgenen Periodizitäten gibt so wie bei Maxwells rationalem Rechteck.

   Seien U1;2 zwei Untermannigfaltigkeiten von U ; ferner t ( U1 ) die Aufenthaltsdauer in dem Unterraum U1 so wie V ( U1 ) das Volumen von U1. Sei wieder t0 unbegrenzt groß; dann gilt, wenn wir das System nach Ablauf der Zeit t0 betrachten

     V  (  U1  )

 ------------------------  =  [  t  (  U1  )  /  t  (  U2  )  ] *      (  2.1  )

    V  (  U2  )

     Die aufenthaltsZEITEN verhalten sich streng wie die VOLUMINA .

   Die SA kann diesen Sachverhalt natürlich nur wieder aussagen im Limes t ===> ( °° ) ; aber dafür hast du ja auch auf der rechten Seite von ( 2.1 ) diesen Stern ( robinson-Lemma ! )

   Ein System, das der Gesetzmäßigkeit ( 2.1 ) unterliegt, heißt ergodisch. Dabei verhält sich das System ergodisch im Zeitmittel eben weil wir strengen Determinismus der Wechselwirkung voraus setzen.

  Praktisch bedeutsam wird der Ansatz der kanonischen Mechanik, das " Scharmittel " sei durch das Phasenraumvolumen gegeben, also Scharmittel = Zeitmittel. Demnach befinden sich bei einer Großzahl von Teilchen immer anteilig genau so viele in einem gegebenen Unterraum, wie der volumenanteil angibt.

  Im Gegentum zum Zeitmittel lasse sich dieses Scharmittel gerade nicht rechtfertigen, lässt sich der Autor vernehmen. Scharmittel entspreche der annahme, dass ein statisches, unveränderliches termodynamisches Gleichgewicht vorliegt.

Eure Lehrer tun immer so, als wenn kubistische Funktionen ein Abenteuer seien; so als wenn jede Kurve etwas Individuelles an sich hätte.

    " Sie singen alle immer wieder die selbe Melodie. "

     Für Spickzettel und Regelheft. Sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Da der ===> Leitkoeffizient positiv ist, ist die Asymptotik ( + °° ) für x ===> ( + °° ) Umgekehrt kommt sie von ( - °° ) ; dafür lassen sich zwei alternative Gründe angeben. Schon deshalb, weil das Polynom ja ungerade ist. Aber auch wegen der Spiegelsymmetrie. Wenn du Extrema hast, sind es immer genau 2 . Und zwar wegen der Asymptotik fällt das Maximum immer links und das Minimum rechts; da brauchts gar keine langatmigen Untersuchungen mit der 2. Ableitung. ( Es gibt auch Regeln ohne Ausnahme; z.B. musst du immer von Links nach Rechts lesen und nicht umgekehrt. )

    ( Außerdem ist das ja selbstbezüglich; " keine Regel ohne Ausnahme " ist ja selbst eine Regel. )

     Nun bewirkt aber die Spiegelsymmetrie, dass diese beiden Extrema symmetrisch zum WP fallen; Spickzettel und Formelsammlung

        x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ]      ( 1a )

       f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ]       ( 1b )

       Recht unkonventionell kommt Frage f) daher. Gefragt ist nach den Extrema der ersten Ableitung. Extrema auf einer Menge M , die gleichzeitig ===> innere Punkte von M sind im Sinne der ===> Topologie, heißen lokale Extrema . Alle Punkte einer Menge M, die nicht innere Punkte sind, heißen ===> Randpunkte; ein ( absolutes ) Extremum könnte ja auch Randpunkt des Definitionsbereichs sein. Um uns mit f) auseinander zu setzen, bednötigen wir ein typisches Teorem mit der Erfahrung von drei Silvestern Mensa, das für den Dienstgebrauch von Schülern fast schon zu hoch ist:

      Satz vom Extremum

    ===============================

  Jede stetige Funktion y = f ( x ) nimmt auf einer ===> kompakten Menge K ihr absolutes Minimum und Maximum an.

====================================================

Betrachten wir in deinem Falle die Ableitung

      f ' ( x ) = 1/3 x ² - 2 x + 8/3     ( 2 )

       In dem WP der Funktion f ( x ) nimmt sie ein lokales Minimum an, das gleichzeitig ihr absolutes ist ( Wenn dir die Anschauung nicht genügt, mach die Kurvendiskussion ( KD ) von ( 2 ) ) Der WP ist ausgezeichnet als Punkt des steilsten Gefälles. Ein ( absolutes ) Maximum besitzt f ' jedoch nicht; zu Mindest dann nicht, wenn der Definitionsbereich von f gleich |R ist ( Da ja |R nur aus inneren Punkten besteht,

  " Die reelle Achse ist eine Rand lose Brille. " ) müsste jedes absolute Maximum auch ein lokales sein; ( 2 ) kann aber nur ein Extremum haben - warum? ) In dem oben angegebenen Maßstab ist aber der Definitionsbereich auf das Intervall [ 0 ; 60 ] beschränkt; Kandidaten für absolutes Maximum von f ' sind somit nur die Randpunkte x = 0 und x = 60 .

    f ' ( 0 ) = 8/3 . Das ===> Hornerschema habt ihr alle drauf; weiß ich von dem Konkurrenzportal ===> Lycos. Ganz große Künstler schaffen Horner im Kopf; ansonsten wenn du an dem exakten Wert von f ' ( 60 ) intressiert bist, nimm dir ein Schmierblatt; für Nummerik reicht's zur Not auch, Horner auf dem TR zu programmieren ( DAS solltest du unbedingt lernen; das ist wie großindustrielle Produktion. )

     Selbst Erstsemester missverstehen obigen Extremumssatz gründlich; daher einige Beispiele und Gegenbeispiele. Wenn ich die Sinusfunktion auf ganz |R definiere, fallen ihre absoluten Extrema mit den lokalen zusammen. Die Funktion

          f ( x ) := x     ( 3a )

         besitzt überhaupt keine lokalen Extrema; sie ist monoton. Gib ihre absoluten Extrema auf [ 0 ; 1 ] an. Besitzt sie absolute Extrema auf ( 0 ; 1 ) ? Die Normalhyperbel

         f ( x ) := 1 / x ; 0 < x < = 1     ( 3b )

       besitzt keine ( absoluten ) Maxima. Das ist kein Widerspruch, da ihr Definitionsbereich nicht kompakt ist.

     Viele bringen dieses Teorem irrtümlich in Verbindung mit einer " notwendigen Bedingung f ' ( x0 ) = 0 " Erstens hat es damit gar nichts zu tun; und zweitens gibt es keine " notwendigen " Bedingungen. Es gibt nur hinreichende. Ganz einfaches Gegenbeispiel; die euch wohl bekannte Betragsfunktion besitzt in x0 = 0 ein lokales Minimum. Aber sie ist dort nicht differenzierbar, geschweige ihre Ableitung irgendeinen Wert besitzt. Die hinreichende Bedingung lautet, richtig formuliert

    " Sei n gerade. Wenn f ( x ) in x0 eine n-fache Nullstelle besitzt ===> x0 ist lokales Extremum, wobei das Vorzeichen der n-ten Ableitung über Maximum / Minimum entscheidet. "

     Betrachte den Fall

       f ( x ) := x ^ 4 712        ( 3c )

        ( Für n > 1 ungerade ergibt sich ein ===> Terrassenpunkt )

     n-fache Nullstelle - das heißt eben immer auch: n-Mal differenzierbar in einer ( offenen ) Umgebung von x0 . Die Nullstelle der Betragsfunktion hat gar keine " Ordnung "

( max Zeichen )