Da du sie vollständig aufschreiben kannst: Rational 😄
Komische Frage… meine Antwort wäre:
Bis zur Stelle 0.5 hat die rote Funktion die höheren Funktionswerte.
Im Intervall (0.5, 6) hat die blaue Funktion die höheren Funktionswerte.
Nach der Stelle 6 hat wieder stets die rote Funktion die höheren Funktionswerte, obwohl die Funktionswerte beider Funktionen gegen unendlich streben.
An den Stellen 0.5 und 6 haben beide Funktionen identische Funktionswerte.
Also deine Aussagen sind ja
(I) a + b + c = 200cm
(II) a = 30cm + b/2
(III) c = b / 5
Die Einheit lasse ich der Übersichtlichkeit halber mal weg, solltest du aber mitführen. Jetzt stellen wir erstmal die erste Gleichung nach a um und setzen sie gleich der zweiten.
a + b + c = 200 <=> a = 200 - b - c
<=> 200 - b - c = 30 + b / 2
Jetzt (III) einsetzen:
200 - b - b/5 = 30 + b/2 <=> 200 - 30 = b/2 + b + b/5 <=> (17/10)b = 170 <=> b = 170 * 10 / 17 = 100.
Das in (III) zurückeinsetzen:
c = 100 / 5 = 20
Beides in (I) einsetzen:
a + 100 + 20 = 200 <=> a = 200 - 100 - 20 = 80
Ich würde sagen, die Aufgabe ist primär Leseverstehen. Übrigens gibt die Aufgabe mir ziemliche Tutor-Vibes, da offensichtlich extra kompliziert formuliert wurde und einige seltsamen Formulierungen enthält.
Die Abbildung ist streng genommen eine ganze Menge von Abbildungen. Eigentlich müssten wir von einer konkreten Abbildung Psi_n sprechen… zumal das n hier auch gar nicht weiter definiert wird. Aber egal, es ist ja klar, was hier gemeint ist.
Bei (i) geht es um 2x2 Matrizen, die du mit Psi abbilden (übrigens nicht „schicken“ 😜) sollst. Da die Abbildung einfach im Transponieren, also dem Umkehren von Zeilen und Spalten, besteht, sollst du auch genau das tun. Die Standardbasismatrizen sind einfach die Matrizen, die an den angegebenen Indizes eine 1 und sonst überall 0en hat. E_1,1 hat die 1 oben links, E_1,2 oben rechts etc. Dabei also Zeilen und Spalten tauschen -> Fertig.
Bei (ii) suchst du einfach ein Beispiel für zwei quadratische Matrizen mit mehr als 2 Zeilen, für die gilt: Psi(A*B) != Psi(A) * Psi(B). Probier einfach mal ein bisschen rum, das geht eigentlich recht easy. Meine Empfehlung wären 3x3 Matrizen mit wenig Einträgen, die am besten auch alle 1 sind, da muss man nicht zuuu viel rechnen. Das rumprobieren hilft beim Verständnis, was bei diesen Abbildungen eigentlich mit den Matrizen passiert und hilft dir dann auch bei (iii).
Kann sein, dass ich gerade auf dem Schlauch stehe, aber ich würde zuerst mal die Länge links von der Höhe ausrechnen (76m - 43m = 33m).
Dann hast du drei rechtwinklige Dreiecke. Das eine, welches du jetzt schon hast, sowie die zwei, die durch die Höhe getrennt werden.
Über die einzelnen Längen der unteren Seiten (43m und 33m) kommst du über den Satz des Pythagoras auf zwei Gleichungen für die Katheten deines ursprünglichen Dreiecks (ich lasse die Einheit hier mal weg, bei dir solltest du sie mitführen):
(I) 33^2 + h^2 = a^2 <=> h^2 = a^2 - 33^2
(II) 43^2 + h^2 = b^2 <=> h^2 = b^2 - 43^2
(offensichtlich ist hier die linke Kathete a, die rechte b)
Die beiden Gleichungen setzt du gleich:
a^2 - 33^2 = b^2 - 43^2 <=> a^2 = b^2 - 43^2 + 33^2
Eine weitere Gleichung liefert Pythagoras durch das ursprüngliche Quadrat:
(III) a^2 + b^2 = 76^2
Jetzt hast du diverse Möglichkeiten. Du könntest zum Beispiel die Erkenntnis aus dem Gleichsetzen in (III) einsetzen:
a^2 + b^2 = 76^2 <=> b^2 - 43^2 + 33^2 +b^2 = 76^2 <=> 2*b^2 = 76^2 + 43^2 - 33^3 <=> b^2 = (76^2 + 43^2 - 33^2) / 2
Das setzt du schließlich in (II) ein und erhältst
h^2 = (76^2 + 43^2 - 33^2) / 2 <=> |h| = sqrt((76^2 + 43^2 - 33^2) / 2) = h, da offensichtlich h > 0.
Rest erledigt dein Taschenrechner. Um auf die Länge des Sees zu kommen musst du von h natürlich noch die 7m abziehen.
Also der Umfang ist tatsächlich relativ einfach. Alle Linien - außer dem Rand - gehören ja zu irgendeinem Halbkreis mit dem Durchmesser des Quadrats… diesen Durchmesser kannst Du mithilfe der angegebenen Skalierung bestimmen, und dann zählen, wie viele Halbkreise Du hast. Der Umfang eines Halbkreises beträgt Pi * Radius.
Wenn Du den Flächeninhalt noch berechnen willst: Dafür würde ich zuerst den Flächeninhalt des Quadrates bestimmen (Seitenlänge^2) und dann je den Flächeninhalt des linken und den des rechten Halbkreises (= 1 ganzer Kreis) abziehen. Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt Pi * Radius^2.
Das was übrig bleibt kannst du dir mal in einer Grafik markieren. Analog dazu kannst du auch den oberen und unteren Halbkreis (= 1 ganzer Kreis) von dem Quadrat abziehen. Nochmal: Stelle dir grafisch dar, was übrig bleibt. Der Rest ist dann trivial.
Also du weißt ja, dass der Absatz zu Beginn der Modellierung bei 27.000 Autos im Monat liegt. Es ist also f(0) = 27000.
Daraus kannst du herleiten: f(0) = 27000 = c*e^(-k*0) = c * e^0 = c * 1 = c
Also ist c = 27000.
Desertieren weißt du, dass f(6) = 20000. daraus schließt du:
f(6) = 20000 = c * e^(-k*6) = 27000 * e^(-6k) <=> e^(-6k) = 20000/27000 <=> -6k = ln(20000/27000) <=> k = -ln(20000/27000)/6 = -ln(20/27)/6 ~ 0.05
a) Die Abnahmefunktion lautet also f(t) = 27000 * e^((ln(20/27)/6)*t)
b) f(t_h) = 27000/2 = 13500 = 27000 * e^((ln(20/27)/6)*t_h) <=> 0,5 = e^((ln(20/27)/6)*t_h) <=> ln(0,5) = (ln(20/27)/6)*t_h <=> 6 * ln(0,5)/ln(20/27) = t_h <=> t_h ~ 13,89. Der Absatz hat sich also nach 14 Monaten halbiert.
c) Hier rechnest du einfach f(5) - f(4). Einfach die Werte in die Formel einsetzen.
Bitte alles nochmal nachrechnen, hab das jetzt nur nebenbei ins Handy getippt.
Naja du kennst ja jeweils die Summen der Zeilen und die Summen der Spalten. Damit kommst du ja schonmal auf vier linear unabhängige Gleichungen mit vier Unbekannten.
Wenn du z. B. Die Felder von oben links nach unten rechts mit a, b, c, d durchbenennst, weißt du:
a + b = 20
c + d = 60
a + c = 32
b + d = 48
Das ist ein Gleichungssystem, dass du auf beliebige Art und Weise lösen kannst. Beispielsweise könntest du den Gauß-Algorithmus benutzen oder die Gleichungen nach einer Variablen umstellen und ineinander einsetzen.
Also die Ableitung von f müsstest du eigentlich in Teilaufgabe e) schon berechnet haben. Genauso müsstest du jetzt noch k(t) nach t ableiten.
Wenn du dann die beiden Ableitungen gleichsetzt (schließlich suchst du ja ein t, für das die Änderungsrate gleich ist) und das ganze nach t auflöst, hast du deine Stelle(n). Wenn du dabei hängst sag Bescheid.
Absonsten müsstest du nur noch gucken, ob du ein t bekommst, das in deinem Interval liegt.
Kleiner Tipp fürs nächste Mal: Wenn du möchtest, dass dir Leute helfen, wäre ein besseres Foto hilfreich 😄
Zu deiner Frage: Du hast hier ein rechtwinkliges Dreieck aus dem horizontalen Abstand von Gebäude und Startkonstruktion, dem Höhenunterschied zwischen Start und Ziel und dem Seil. Du kennst zwei Dinge: Den Winkel am Startpunkt (20 Grad) und die Länge der Hypotenuse (100m). Mit dem Sinus kannst du daraus die Länge der Gegenkathete, also dem Höhenunterschied berechnen.
Den musst du dann nur noch von der Gesamtjahr des Gebäudes (= 40 m) Abziehen und bekommst die Höhe der Startposition.
Die Lösung sieht man in deinem Bild weiter oben bei dem vorherigen Text: „Die Zuordnung Wasserhöhe -> Zeit ist keine Funktion, da z.B. der Wasserhöhe 30cm mehr als eine Uhrzeit zugeordnet wird“.
Grundvorraussetzung einer Funktion ist demnach, dass du einen Wert in sie einsetzen kannst und ein eindeutiges Ergebnis erhältst.
In Aufgabe a) ist das ja ganz klar der Fall. Aus der Parkdauer kann man eindeutig die Parkgebühr ableiten. Es handelt sich also um eine Funktion.
In b) sieht die Sache anders aus. Parkgebühren werden üblicherweise in Stufen fällig, beispielsweise pro Stunde / Tag / etc. Aus der Höhe der Parkgebühr kannst du also nicht eindeutig schließen, ob jemand jetzt 61 Minuten geparkt hat oder 119. Es handelt sich also nicht um eine Funktion.
C) ist dann wieder eine ziemlich einfache Frage, weil sich der Umfang eines Quadrats natürlich sehr eindeutig aus dessen Kantenlänge berechnen lässt. Auch hier handelt es sich um eine Funktion, nämlich um die Funktion u(x) = 4x.
Dein Ziel ist es ja, auf bestimmten Feldern der Matrix Nullen zu erzeugen, indem du vielfache der Zeilen voneinander abziehst. Wenn du immer weiter drauf addierst, werden die Zahlen ja auch immer größer, damit wirst du wohl keine Nullen erzeugen können.
Die Schreibweise deines Lehrers finde ich persönlich zwar etwas unorthodox, aber das ist eigentlich auch egal. Solange du richtig rechnest, wirst du am Ende auch auf dem gleichen Ergebnis landen.
Ich hab immer sehr ungern Gauß korrigiert, da gab es immer so viele Folgefehler 😄
a) Sie trifft in 2 von 10 Fällen, also in 8 von 10 trifft sie nicht. 8/10 = 4/5 = 0,8.
b) Für genau einmal gibt es zwei Möglichkeiten: Erst treffen (2/10) und dann nicht treffen (8/10) oder erst nicht treffen (8/10) und dann treffen (2/10). Da die beiden Ereignisse einander ausschließen, kannst du die Wahrscheinlichkeiten addieren, d.h. :
Erst treffen, dann nicht treffen: 2/10 * 8/10 = 16/100
Erst nicht treffen, dann treffen: 8/10 * 2/10 = 16/100
Insgesamt: 16/100 + 16/100 = 32/100 = 0,32.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 32%.
Also erstmal wird hier überhaupt nicht abgeleitet, sondern Integriert. Das ist tatsächlich so ziemlich das Gegenteil: Statt eine Ableitung bestimmen zu wollen, sucht man eine Stammfunktion. Wenn du diese Stammfunktion dann wiederum ableitest, bekommst du wieder deine ursprüngliche Funktion. Du suchst also eine Funktion F(x), die abgeleitet f(x) ergibt.
Die Schwierigkeit beim Integrieren ist, dass es weniger ein Standardvorgehen gibt als beim Ableiten. Grundsätzlich versucht man meistens, die zu integrierende Funktion zu irgendwas umzuformen, wo man die Stammfunktion bereits kennt. Da kommt auch dein ln(x) her, aber dazu gleich mehr.
Der Charme an deinem konkreten Beispiel ist, dass f(x) die Summe von zwei völlig unabhängigen Funktionen ist. Da du diese ja getrennt voneinander ableiten würdest, kannst du sie auch getrennt voneinander integrieren, also (Integral von 3e^-2x) + (Integral von 1 / 2x).
Bei der Exponentialfunktion ist spannend, wie du diese ableiten würdest. Eine beliebige Exponentialfunktion a*e^(b*x) würdest du ja ableiten zu ab*e^(b*x) (<- Kettenregel). Das „b“ im Exponenten wird sich also niemals ändern. Demnach muss auch in deiner Stammfunktion dein b bereits -2 sein. Du suchst also einn Faktor, der mit e^(-2x) multipliziert abgeleitet die Funktion 3e^(-2x) ergibt. Da du den Faktor beim ableiten mit -2 multiplizierst, kannst du die 3 einfach durch -2 teilen, um die Operation aus dem Ableiten sozusagen rückgängig zu machen. Daher stammt schonmal die -2 unter dem Bruchstrich.
“Einfach die Zahl erhöhen“ darf man übrigens vor allem deswegen nicht, weil es sich nicht um ein Monom, also sowas wie x^3, x^5 etc. handelt. Kompliziertere Funktionen werden auch komplizierter auf- bzw. Abgeleitet.
Um 1/(2x) zu integrieren, ziehst du das erstmal auseinander zu 1/2 * 1/x. Die 1/2 bleiben als Faktor stehen, 1/x wird integriert zu ln(x).
Warum? Weil die Ableitung von ln(x) gerade 1/x ist.
Wie man darauf kommen soll? Leider nur aufgrund von Erfahrung. Diesen Blick für Umformungen (oder „Vereinfachungen“) kann man trainieren und ist der Grund dafür, dass gerade diese ganzen Ableitungs- und Integrationsgeschichten ohne echtes Üben leider nicht möglich sind.
Abschließend vielleicht noch ein Wort zu dem C. Streng genommen suchst du nicht eine Stammfunktion, sondern alle Stammfunktionen. Das C steht für irgendeine beliebige, von x unabhängige Konstante. Das kann jede Beliebige Zahl, jeder Ausdruck, jedes Sonstwas sein, Hauptsache es ist unabhängig von x. Beim Ableiten der Stammfunktion verschwindet das ja dann.
So, ich glaub das war das. Wenn Fragen sind, gerne Fragen.
Nein, da die Gleichung (also wenn du deinen Term gleich 0 setzt) nicht in Normalform ist. Du kannst aber einfach alles mit -1 mal nehmen, dann gehts.
Wenn ihr mich fragt: Ich habe gar keinen konkreten Film, der es jedes Jahr wieder sein muss… Ich finde es eher schön, sich in dieser Zeit abends aufs Sofa zu lümmeln. „Seichte“ Weihnachtsfilme kommen ja jedes Jahr genug raus 😃
Wenn ihr hingegen meine Frau fragt: 436 mal Drei Haselnüsse für Aschenbrödel
Ich glaube da kickt ein bisschen der Abgabe Stress kann das sein?
Also der Umsatz je Monteur ist der gesamte Umsatz geteilt durch die Anzahl der Monteure, also im Vorjahr 2400000/40 und im Berichtsjahr entsprechend.
(Teil entfernt, der verwirrt eher)
Edit: Um deine konkrete Frage zu beantworten solltest du aber die Differenz benutzen, wie von Eva vorgeschlagen. Dann hast du auch gleich den Wert den du suchst.
Zu A: Der Graph der entsprechenden Funktion soll ja durch den Punkt (2, 6) verlaufen. Das heißt, für den Wert x=2 muss f(x)=6 sein.
Du setzt also für x den Wert 2 ein und erhältst f_k(2) = 2^3 - 2k^2 = 6. Das stellst du nach k um und bekommst ein k raus, für das die Aussage gilt. Wenn es dabei noch Probleme gibt, sag Bescheid.
Zu den Nullstellen: 0 = x^3 - k^2x <=> x^3 = k^2x <=> x^2 = k^2 <=> x = k v x = -k
Zu den Extremwerten:
Habe jetzt keine Zeit, das alles einzutippen, aber sag Bescheid, falls du noch irgendwo Probleme hast.
Das ist sehr stark von der konkreten Aufgabenstellung abhängig. Das einzige was du machen kannst, um allgemein besser mit solchen Aufgaben umgehen zu können, ist möglichst viele davon zu lösen (am besten möglichst unterschiedliche Aufgabenstellungen in dem Gebiet, das dich interessiert).
Wenn du dann nämlich auf eine neue Aufgabe stößt, ist die Chance recht hoch, dass du genau so etwas schonmal gelöst hast. Und selbst wenn nicht: Durch die verschiedenen Aufgaben entwickelst du ein Gespür dafür, welche klassischen Umformungs-„Tricks“ es gibt und kommst mit bisher unbekannten Aufgabenformen besser zurecht.
Ich wüsste nicht welche, nein.
Primzahlen sind ja vor allem zahlentheoretisch interessant, also wenn es auf Teilbarkeit, Eindeutigkeit, etc ankommt.
Stochastikfragen drehen sich aber ja eigentlich immer um Anteile, spielen sich also i. d. R. im Zahlenbereich zwischen 0 und 1 ab.
Also ja, klar, es wird sicherlich konkrete Fragestellungen geben, in denen man beides kombinieren kann/darf/soll, aber eine grundsätzliche Bedeutung von Primzahlen in der Stochastik sehe ich erstmal nicht.