Der Kernf sind doch alle Elemente aus U die in f eingesetzt den 0 Vektor ergeben. Schau ich mir da dann einfach alle Elemente aus U an für die das gilt und bilde mit ihnen eine Basis (also nehme alle Vektoren die linear unabhängig sind) und sage dann die Anzahl dieser Vektoren ist die Dimension des Kernf?

Ja, genau wie bei jedem anderen Vektorraum auch. Vergiss nämlich nicht, dass Kern(f) ein Unterraum von U ist.

Und für die dimf mach ich dann dasselbe nur, dass es dort alle Elemente aus V sind, die man durch einsetzten von Elementen aus U in die Funktion f erhält?

Jep, denn Im(f) ist ein Unterraum von V.

Aber wieso sollte dann die dim U rauskommen, wenn man die Dimensionen von Kerf und Imf addiert?

Das "wieso" wird eben im Beweis des Satzes geklärt.

Wie bereits geschrieben wurde, kann man die Gleichung umformen zu:



Wenn nun c, b und m natürlich sind, dann ist x exakt dann ganzzahlig, wenn c² - b ein Vielfaches von m ist. Oder anders ausgedrückt:



Die Theorie, um solche modulare quadratische Gleichungen zu lösen, ist leider etwas kompliziert. Falls du dich davon nicht abschrecken lässt:

Falls m eine ungerade Primzahl ist:

Wenn m eine ungerade Primzahl ist, kann man mithilfe des eulerschen Kriteriums prüfen, ob die Gleichung überhaupt eine Lösung besitzt.

Falls es eine Lösung c gibt, dann ist auch -c eine Lösung. Im Restklassenring modulo m sind das dann die einzigen beiden Lösungen der Gleichung.

Beispiel: Die Gleichung

hat in Z_3 exakt die beiden Lösungen c = 1 und c = -1 = 2.

Einschub: Weil uns aber nicht modulare Lösungen interessieren, sondern natürliche Lösungen, sollten wir uns an dieser Stelle klar machen, dass man so eine Lösung c liften kann: Mit c ist auch c + m, c + 2m, c + 3m etc eine Lösung der Gleichung.

Preisfrage: Wenn es eine Lösung für c gibt, wie findet man sie? Tja, hier geht's leider schon los. Für gewisse Primzahlen m sind Formeln dafür bekannt. Zum Beispiel wenn

ist, dann erhält man eine Lösung mittels



(Falls es dich interessiert: Es gibt auch Formeln für den Fall m = 5 mod 8).

Im Allgemeinen ist aber keine Formel zum Ermitteln eines quadratischen Rests bekannt, selbst bei dem einfachen Fall, dass m eine Primzahl ist. Somit bleibt dir schlimmstenfalls nur "ausprobieren".

Falls m keine Primzahl ist:

Wie du dir vorstellen kannst, wird es hier nicht einfacher ;) Ich verweise mal abkürzend auf folgendes Skript, für welches obiges Wissen vorausgesetzt wird.

https://www.uvm.edu/~cvincen1/files/teaching/spring2017-math255/quadraticequation.pdf

Beachte, dass der Ausdruck



in diesem Skript nicht für den Bruch a/b steht, sondern für das Legendre-Symbol.

Es ist sicherlich hilfreich für das Informatik-Studium, gut in "Mathe" zu sein - du musst dir nur darüber im Klaren sein, dass "Mathe" an der Uni etwas komplett anderes ist als "Mathe" im Schulunterricht [damit meine ich nichtmal unbedingt schwieriger, sondern wirklich nur sehr anders]. Ich weiß nicht, was inhaltlich in eurer Mathe-AG gemacht wird, aber wenn es in Richtung Schulmathe geht, ist der Nutzen für das Informatik-Studium eher begrenzt [es schadet nicht, hilft dir aber auch nicht wirklich bei den Mathe-Vorlesungen].

In der Uni-Mathe geht es um das Finden und (formale) Beweisen von Zusammenhängen mathematischer Objekte. Gerade am Anfang ist die Hauptschwierigkeit dabei das Verständnis von Formalismen und formal sauberes Arbeiten - etwas das man in der Schule leider eher selten lernt.

Wenn du einen Eindruck bekommen willst, was man in der Uni so macht, kannst du mal einfach in ein Mathe-Skript einer Grundlagenvorlesung reinschnuppern - hier ein Beispiel dafür:

https://www.math.uni-tuebingen.de/user/keilen/download/LectureNotes/grundlagen.pdf

oder auch:

https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/gdm-2019/gdm-2019.pdf

Versteh' mich nicht falsch, ich will dich nicht davon abhalten der Mathe-AG beizutreten [vor allem nicht wenn es dich interessiert]. Aber wenn du das "nur" für das Studium machen würdest, solltest du dich vorher informieren, was für Mathematik dort betrieben wird.

Für P(N3-N100|A1) habe ich = 98/99, da man nun auch Tür 2 öffnen kann.

Das klingt für mich so, als hättest du diese Wahrscheinlichkeit falsch interpretiert. Das ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator die Türen 3 bis 100 öffnet, wenn sich hinter Tür 1 der Hauptgewinn befindet. Wenn der Moderator "fair" ist, gibt er jeder der 99 falschen Türen dieselbe Chance, beim Öffnen übersprungen zu werden. Damit wäre aber

P(N3-N100|A1) = 1/99.

Formale Sprache ist eine Menge von Wörtern, welche sich aus den, im Alphabet befindenden Zeichen zusammensetzen lassen. Akzeptierte Sprache, bzw. L(A) ist eine Menge der akzeptierten Wörter, welche vom Startzustand aus auf einem akzeptierten Zustand enden.

Eben das. Eine formale Sprache ist einfach irgendeine Menge von Wörtern. Die Sprache L(A) ist eine spezielle formale Sprache: Nämlich die, die vom Automaten A akzeptiert wird. Der Begriff "akzeptierte Sprache" existiert somit nicht unabhängig von einem Automaten - im Gegensatz zum Begriff "formale Sprache".

Jede akzeptierte Sprache ist auch eine formale Sprache. Aber umgekehrt muss das nicht so sein: Es gibt ja möglicherweise eine formale Sprache, die von keinem Automaten akzeptiert wird.

Kann man schon, aber wenn du viele Bedingungen verknüpfen willst, ist es oft übersichtlicher, die Gesamtbedingung in eine eigene Funktion auszulagern:

if(hatFuehrerschein && (alter > 17 || inBegleitung)){
  // irgendwelche Logik
}

würde ich umschreiben zu vllt:

if(darfAutofahren()){
  // irgendwelche Logik
}

// weiter unten Methode definieren:
bool darfAutofahren(){
  if(!hatFuehrerschein) return false;
  return alter > 17 || inBegleitung;
}

Q+ ist die Menge der positiven rationalen Zahlen, Z- die Menge der negativen ganzen Zahlen.

Das heißt zum Beispiel, dass in Q+ zwar 1/15 drin liegt, aber nicht -1/15.

Prinzipiell: Wenn du keinen konkreten Ansatz hast, solltest du immer erstmal versuchen, die Definition nachzurechnen.

In deinem Beispiel musst du zeigen, dass (f2, f3) eine Basis von V ist.

Wenn du jetzt in deinem Skript nachschlägst, was die Definition von "Basis" ist, wird da sowas stehen wie:

"Eine Familie von Vektoren heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V ist."

Damit weißt du, dass du zeigen musst, dass (f2, f3) linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V ist.

Wenn du dazu keinen konkreten Ansatz hast, hangel dich weiter an den Definitionen vor: Was heißt "linear unabhängig", was heißt "Erzeugendensystem"? Die Definitionen im Skript nachschlagen (falls nötig) usw.

Es gelten folgende Rechenregeln:

• a + (-b) = a - b
• a - (-b) = a + b

Das gilt auch, wenn a negativ ist. Daher kannst du Aufgabe 1a) zum Beispiel so lösen:

-11 + (-6)

= -11 - 6

= -17.

Z.B. für c): Bestimme den Funktionswert der Normalparabel an der Stelle x = 1. Ermittle, um wie viel du den Wert verschieben musst, damit du auf den gewünschten y-Wert 2 kommst.

Alternativ: Die verschobene Normalparabel hat ja die Form y = x² + c. Wenn du deinen Punkt (x|y) da einsetzt, kannst du die Gleichung nach c auflösen.

Übrigens ist der Scheitelpunkt nicht einfach eine Zahl, sondern eben ein Punkt. Somit ist der Scheitelpunkt in Aufgabe a) zum Beispiel nicht 8 sondern (0|8).

Nehmen wir an, du hast eine Klasse für Tiere. Diese Klasse hat eine Methode zum Fortbewegen:

class Animal{
  public void Move(){
    System.out.println("I'm moving!");
  }
}

Nun erstellst du eine weitere Klasse für Fische. Da Fische Tiere sind, lässt du sie von Animal erben.

class Fish extends Animal{
}

Da Fish eine Tochterklasse von Animal ist, kann ein Fish alles tun, was ein Animal auch kann. Insbesondere kann ein Fish die Move-Methode aufrufen und würde dann "I'm moving!" auf die Konsole schreiben.

Jetzt fällt dir aber auf, dass sich ein Fish anders bewegt als z.B. Landtiere. Du möchtest also das Verhalten der Move-Methode für den Fish ändern. Hierfür kannst du die geerbte Move-Methode überschreiben, mittels @override:

class Fish extends Animal{
  @Override public void Move(){
    System.out.println("I'm swimming!");
  }
}

Streng genommen ist das @Override für dieses Verhalten nicht notwendig - es hilft aber beim Verständnis des Codes und macht den Code robuster gegen Rechtschreibfehler, da der Compiler dich darauf aufmerksam macht wenn du eine Methode Overriden willst, die es gar nicht gibt.

Da z.B. (2,2) kein Element von S ist [wie du erfolgreich gezeigt hast], kann S nicht reflexiv sein. Denn für Reflexivität müsste für jede natürliche Zahl a gelten, dass (a,a) in S liegt, also auch für a = 2.

Es gibt nur eine Möglichkeit, wie A => B falsch sein kann, nämlich wenn A wahr und B falsch ist [sieht man leicht in der Wahrheitstabelle der Implikation].

Wenn du also zeigen kannst, dass dieser Fall unmöglich ist, hast du die Implikation bewiesen.

Aber zu zeigen, dass (A ist wahr und B ist falsch) nicht sein kann, ist gerade der Widerspruchbeweis.

Woran genau scheitert es denn? Für Reflexivität z.B. musst du ja prüfen, ob für alle M in P(A) gilt, dass M R M ist, also dass M ∩ M = M gilt. Das ist eine Mengengleichheit, die du entweder allgemein beweisen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegen kannst.

Bei Antisymmetrie und Transitivität musst du ebenfalls "nur" die Definitionen checken. Wenn du jeweils deinen bisherigen Stand / Ansatz zeigst, könnte ich drüber gucken und wir sehen weiter.

A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist.

Da jedes Element von A auch ein Element von A ist, ist somit A eine Teilmenge von A.

Beides ist richtig. Im Japanischen gibt es 3 Schriftsysteme: Hiragana, Katakana und Kanji.

Hiragana und Katakana sind sogenannte Morenschriften - ihre Zeichen haben keine eigene Bedeutung sondern nur eine Aussprache. Es gibt auch nicht übermäßig viele davon, weswegen es relativ leicht ist, die alle zu lernen. Falls ein Wort komplett in Hiragana/Katakana geschrieben wird, weißt du dann exakt, wie es ausgesprochen wird (bis auf "pitch accent").

Kanji sind, wie du schon bemerkt hast, Schriftzeichen, die ursprünglich aus dem Chinesischen kommen. Die Japaner haben nämlich das Schriftsystem der Chinesen übernommen. Im Gegensatz zu den Kana hat ein Kanji eine Bedeutung und ggf. mehrere mögliche Aussprachen. Z.B. das Kanji 一 hat grob die Bedeutung "Eins". Je nach Kontext kann es unterschiedlich ausgesprochen werden:

一 [Eins] (hier wird das Zeichen いち ausgesprochen)

一日 [Der erste des Monats] (hier wird das Zeichen つい ausgesprochen)

一人 [Alleine, eine Person] (hier wird das Zeichen ひと ausgesprochen)

0_S ist das Nullelement des Rings S und somit das neutrale Element der Addition in S. Wenn du in eure Definition von Ringen guckst, steht da vermutlich drin, dass ihr das neutrale Element der Addition eines Rings R mit 0_R bezeichnet.

auf das 0 Element von S bezüglich der Addition

Ja, in Ringen gibt es bezüglich der Multiplikation ja auch gar kein "0-Element". Wenn überhaupt würde man es das "1-Element" nennen. Deswegen reicht es auch aus, 0 bzw. 0_S zu schreiben: In S gibt es nur ein Element, das man zu Recht als 0 bezeichnen könnte.

So nun sagen wir zu einem n-Tupelk gehört die Abbildung i-->x_i, ab, sagen wir I={5,6,7}, i€ I

Das steht da aber nicht. Laut der Notation gehört zu einem n-Tupel eine Abbildung {1,..., n} -> X, also in diesem Fall {1,2,3} -> {1,2,3}.

Oder anders ausgedrückt: Ein n-Tupel ist eine Familie mit Indexmenge I = {1,...,n}.

Beispiel: Das Tupel (3,2,1) wird einfach in diesem Sinne dargestellt durch die Abbildung



Indem wir nun x_i := x(i) für i in {1,2,3} definieren, können wir das Tupel (3,2,1) auch beschreiben durch



Bei きろい fehlt das い von いろ (= 色, Farbe). Es heißt きいろい und auch in romaji kiiroi.

Edit: Steht in deinem Lehrbuch vielleicht kīroi? Der Querbalken wird auch gelegentlich verwendet, um zu symbolisieren dass das ein "langes" i ist.

Prinzipiell kann man Hiragana und Katakana mischen. Z.B. たまごパン (wörtl. "Eibrot") könnte man ohne weiteres so schreiben, weil "Ei" typischerweise in Hiragana geschrieben wird (oder als Kanji 卵) und "Brot" in Katakana.

Das funktioniert hier allerdings nur halbwegs gut, weil das ein aus zwei Wörtern zusammengesetztes Wort ist. Ich käme nicht auf die Idee, die Schriften in einem Einzelwort zu mischen (wie z.B. わたシ statt わたし für "Ich"). Das sieht für mich einfach falsch aus, mag aber stilistisch irgendwo verwendet werden.