Dazu gibt es auch einen optischen Beweis. Zuerts hats du einen Punkt, dann kommen zwei dazu, dann drei usw., so dass eine Treppe entsteht und du willst die Anzahl der Punkte wissen: du startest mit 1, dann kommen zwiei dazu, dann drei, dann vier und dann 5 usw., so dass du die grünmarkierte Punkte hast. Jetzt kann man denken, dass man die Punkte mit der Flächformel (A=g*h/2) für Dreiecke bestimmen kann, doch 5*5/2=12,5, also keine gerade Zahl, obwohl wir immer gerade Anzahl an Punkten dazuaddieren. Deshalb ergänzt man das Dreickeck zu einem Viereck, indem man dasselbe Dreieck nochmal umkippt, siehe Abbildung 2. Dabei entsteht genauer gesagt ein Rechteck, da diese blaumarkierte Spalte entsteht, also nimmt die breite immer um 1 zu.
Und nun kann man die Anzahl der Punkte mit der Flächenformel für ein Rechteck (a*b) berechen. 5*(5+1)=30. Jetzt muss man noch die Anzahl der Punkte durch 2 Teilen, um die Anzahl der grünen Punkte zu bestimmen: 30/2=15. Das ist nichts weiter als 1+2+3+4+5. Das kann man beliebig erweitern, z. B. 1+2+3+4+5+6+7+8... - es kommt drauf an, wie n-Spalten man dazuaddiert. Um das zu veralgemeinern kann man n*(n+1)/2 rechnen, wobei n die Seite a und (n+1) die Seitenfläche b ist. In deinem Bespiel wäre n=100, also: 100*101/2= 5050
Man kann das auch so zeigen: Die erste Zahl mit der letzten Zahl addieren, dann die zweite mit der vorletzten, usw., so hast du am Beispiel n=100: 100*(100+1)/2. Du musst am Ende durch 2 dividieren, da du zwei Zahlen immer addierst, also kannst du das n/2 mal machen.
