Darf der Ärztliche Dienst das Gespräch aufzeichnen?

Unüblich. Wenn, dann machen Psychiater/Psychologen.. sowas. Aber nur um es nach dem Gespräch korrekt zu analysieren und nur nach Einverständnis natürlich.
Was war das für ein Arzt?

Nein,

Eintritt in die Privatsphäre und Persönlichkeit.

Nein.