Zeigen Sie,dass √a ein Fixpunkt von f?

Answer 1

[ShimaG]

Ich tippe mal, dass du die Existenz des Fixpunktes mit dem Banachchen Fixpunktsatz zeigen kannst.

Den eigentlichen Fixpunkt kannst du dann aus der Fixpunkteigenschaft f(x*)=x* ausrechnen.

Für die Berechnung von Wurzel zwei brauchst du dann eine Fehlerabschätzung - ich vermute, die kommt letztlich auch aus der Kontraktionseigenschaft.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Comments

[DerRoll]

Nein, es reicht für einen Fixpunkt zu zeigen das f(x) = x, denn das ist die einzige Bedingung für einen Fixpunkt. Den Banachschen Fixpunktsatz brauchst du nur um zu beweisen das jede rekursive Folge auch gegen den Fixpunkt konvergiert.

[ShimaG]

@DerRoll

Gut, das stimmt in der Tat im Sinne der Aufgabenstellung!

Ohne Konvergenzeigenschaft bringt dir die Funktionsgleichung aber herzlich wenig, insbesondere nicht wenn du sie zur Berechnung von Wurzel zwei nutzen willst

Answer 2

[mihisu]

x̃ ist genau dann ein Fixpunkt von f, wenn f(x̃) = x̃ ist.

Im konkreten Fall: √(a) ist genau dann ein Fixpunkt von f, wenn f(√(a)) = √(a) ist.

============

Für die nährungsweise Berechnung, kann man zunächst zeigen, dass

$f\left(x\right)\in\left[\sqrt{a},\ a\right]\ \text{für alle }x\in\left[1,\ a\right]$

ist, und die Einschränkung

$f̃:\ \left[\sqrt{a},\ a\right]\to\left[\sqrt{a},\ a\right],\ x\mapsto\frac{1}{2}\cdot\left(x+\frac{a}{x}\right)$

betrachten. Für diese Einschränkung kann man

$\left|f̃\left(x\right)-f̃\left(y\right)\right|\le\frac{1}{4}\cdot\left|x-y\right|\ \text{ für alle }x,\ y\in\left[\sqrt{a},\ a\right]$

zeigen. Dies zeigt, dass f̃ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl k = 1/4 ist. Mit dem banachschen Fixpunktsatz folgt nun, dass f̃ genau einen Fixpunkt besitzt (welcher hier √(a) ist, wie man bereits gezeigt hat). Des Weiteren folgt mit dem banachschen Fixpunktsatz, dass die durch

$x_{n+1}=f̃\left(x_n\right)$

für alle n ∈ ℕ₀ und mit x₀ = a definierte Folge gegen diesen Fixpunkt √(a) konvergiert. Für a = 2 erhält man so Näherungswerte für √(2).

Außerdem kann man mit der Kontraktionszahl k = 1/4 den Fehler abschätzen...

$\left|x_n-\sqrt{a}\right|\le\frac{k^n}{1-k}\cdot\left|x_1-x_0\right|=\frac{k^n}{1-k}\cdot\left|\frac{1}{2}\cdot\left(a+1\right)-a\right|$ $=\frac{k^n}{1-k}\cdot\frac{\left|a-1\right|}{2}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{4}\right)}\cdot\frac{\left|a-1\right|}{2}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{3}\cdot\frac{\left|a-1\right|}{2}=\frac{\left|a-1\right|}{6}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

Im konkreten Fall für a = 2 kann man sich dann fragen: Für welches n ist der Fehler kleiner als 10^(-3)?

Comments

[mihisu]

Ansonsten musst du natürlich nicht unbedingt den banachschen Fixpunktsatz verwenden, sonder könntest auch direkter für das konkrete Beispiel beweisen, dass die durch x₀ = 2 und xₙ₊₁ = f(xₙ₊₁) [mit a = 2] für alle natürlichen Zahlen n definierte Folge gegen √(2) konvergiert und den Fehler abschätzen.

Du kannst auch mal unter dem Stichwort „Heron-Verfahren“ suchen. Denn darum geht es hier im Grunde.