Zeichnen von komplexen Mengen, was muss ich zeichnen, wenn da steht arg(z)?
Re(z)=x, das ist noch verständlich, aber was soll dieses arg(z) sein?
3 Antworten
Persönlich bin ich der Meinung dass zur Befähigung zum Studium auch die Befähigung zur eigenständigen Recherche gehören sollte. Das ist doch wirklich nicht schwer.
Das kann ich immer noch nicht so wirklich glauben. Ich stelle aber schon fest dass man offensichtlich nicht mehr voraussetzen kann dass sich Studierende wenigstens die grundlegende Literatur besorgen. Neben meinem PC liegen drei Bücher von Heuser, die ich oft für die Beantwortung komplexerer Fragen heran ziehe und in denen ich auch immer gerne ein wenig schmökere.
arg(z) bedeutet Argument(-funktion) von der komplexen Zahl z, also das Argument von z.
Das Argument einer komplexen Zahl z ist ihr Winkel in Polarform.
Dieser Winkel ist der Winkel von der positiven reellen Achse zum Vektor der komplexen Zahl.
Man kann diesen gegeben bekommen oder auch durch Trigonometrie aus der kathetischen/algebraischen Form berechnen.
Man kann aber auch den Vektor zeichnen und den Winkel abmessen oder ablesen.
algebraische Form:
z = x + y * i
Polarform:
z = |z| * e^{arg(z) * i}
trigonometrische Form:
z = |z| * (cos(arg(z)) + i * sin(arg(z)))
Dieser Winkel kann wie schon gesagt durch Trigonometrie berechnet werden.
Die allgemeine Formel dafür lautet:
arg(z) = arctan2(y, x) = arccot2(x, y)
Sind x und y ungleich 0 gilt:
arg(z) = arctan(y / x) = arccot(x / y)
Ist x ungleich 0:
arg(z) = arccos(x / |z|) = arcsec(|z| / x)
Ist y ungleich 0:
arg(z) = arcsin(y / |z|) = arccsc(|z| / y)
Aufgrund dessen das die Arkusfunktionen die Umkehrfunktionen periodischer Funktionen sind ergeben sie unendlich viele Ergebnisse mögliche Ergebnisse.
Beispiel:
z = 3 + 4 * i
z = |3 + 4 * i| * e^{arctan(4 / 3) * i}
z = sqrt(3² + 4²) * e^{(0,927... + 2kπ) * i}
z = sqrt(9 + 16) * e^{(0,927... + 2kπ) * i}
z = sqrt(25) * e^{(0,927... + 2kπ) * i}
z = 5 * e^{(0,927... + 2kπ) * i}
arg(z) = arctan(4 / 3) =0,927... + 2kπ
Studium heute ist wie Schule. Da wird keine Eigenständigkeit mehr gefordert.