Woran erkenne ich, ob ein exponentielles oder ein beschränktes Wachstum vorliegt?

Bsp.: Lohnstadt hat im Jahr 2006 rund 40000 Einwohner. Man geht davon aus, dass die Böverkerungs jährlich um 2,4% abnimmt.

Hier liegt ja eine Schranke vor.

Meine zweite Frage unabhängig von der Aufgabe warum kann man beim beschränkten Wachstum das Ergebnis nicht direkt berechnen?

3 Antworten

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dongodongo

17.03.2018, 11:42

Hier liegt eine kleine begriffliche Verwechslung vor. Beschränktes Wachstum einer Größe Q(t) in der Zeit t bedeutet Q(t_2)-Q(t_1) > 0 für alle t_2 > t_1 und Q(t) < Q_{up} für alle t. Exponentielles Wachstum hingegen bezeichnet einen funktionalen Zusammenhang der Form Q(t)=Q(t_0)*a^(t-t_0), wobei a > 1 der Wachstumsfaktor, t_0 die Startzeit und Q(t_0) der Wert der Größe Q(t) zur Zeit t_0 ist.

Im Hinblick auf die Aufgabe meinst du wohl eher exponetielle Abnahme? Diese ist charakterisiert dadurch, dass der Wachstumfskator a < 1 ist.

In deinem Beispiel modellieren wir die Größe N(t), wobei N die Anzahl der Bewohner von Lohnstadt zur Zeit t bezeichnet. Gegeben haben wir N(t=2006)=40000. Ferner wissen wir, dass N(t+1)/N(t)=1-0.024 = 0.976 = 97.6 %. D.h., ein Jahr später leben in Lohnstadt nur noch 97.6 % der Einwohner des Vorjahres. Damit können wir für das Modell schreiben

N(t) = (N(t)/N(t-1))*(N(t-1)/N(t-2))*....*(N(2007)/N(2006))

= 0.976^(t-2006)*N(2006)

=40000*0.976^(t-2006).

Beschränkt ist das prinzipiell nichts, weil wir auch fragen können, wie die Bevölkerung Lohnstadts zur Zeit t = -100, -1000,-10000 usw aussieht. Entsprechend hätten wir zur Zeit "Unendlich vor Chr." N(-unendlich)=unendlich. Hier kannst du sehen, dass das Modell deines Beispiels nur in einem bestimmten Zeitfenster, z.B. von 2006 - x Jahre bis 2006 +y Jahre sinnvolle Ergebnisse liefert. Außerhalb dieses Bereichs könnte man durch Vergleich mit realen Daten das Modell als unzuverlässig verwerfen.

dongodongo