wieso benutzt man das heron-verfahren?

Diese Verfahren wurden in der Software eingesetzt, um den Wert einer mathematischen Funktion zu berechnen.

Als dann die ersten Floating-Point-Prozessoren auf den Markt kamen, wurden diese Verfahren mehr und mehr in die Floating-Point-Prozessoren, also von der Software in die Hardware verschoben.

Wenn man z.B. sin(x) in einen Taschenrechner eingibt, wird das Ergebnis über derartige Näherungsverfahren bestimmt. Auf einem Computer, z.B. bei der Anwendung von Excel, übergibt der Rechner die Aufgabe an den Floating-Point-Prozessor, aber der arbeitet aber auch nur mit Näherungsverfahren.

Das Näherungsverfahren wird iterativ solange durchlaufen, bis der zu erwartende Fehler kleiner wird als der Taschenrechner oder der Computer das Ergebnis darstellen kann.

Das Heron-Verfahren ist das Newton-Raphson-Verfahren für die Quadratwurzel. (Newton-Raphson ist auch für viele andere Berechnungen geeignet.)

Ein alternatives Verfahren sind Intervallschachtelungen. Die sind natürlich auch möglich.

Insbesondere das Regula-falsi-Verfahren, bei dem man die beiden letzten berechneten Punkte mit einer Strecke verbindet und den Schnittpunkt mit der x-Achse als neue Intervallgrenze nimmt, ist ziemlich effektiv.

Beides ist natürlich möglich, aber beides hat auch seine Vor- und Nachteile.

Für Heron (bzw. Newton-Raphson) spricht:

- weniger Iterationsschritte nötig bis zur geforderten Genauigkeit

- man braucht sich immer nur einen einzigen berechneten Wert zu merken

- Abschätzungen zum Restfehler und zur vermutlichen Anzahl der Iterationsschritte sind wesentlich einfacher, weil sie nur von einem einzigen Wert abhängen

Für Regula falsi spricht:

- weniger Rechenaufwand insgesamt (besonders, wenn Divisionen "teuer" sind)

Für sonstige Intervallschachtelung spricht:

- mit guter Wahrscheinlichkeit weniger Rechenaufwand insgesamt (besonders, wenn Divisionen "teuer" sind)

Weil es bei einem guten Ausgangswert
extrem schnell konvergiert.

Weil es effizent ist und gut funktioniert.