Wie löse ich diese Gleichung (mit Rechenweg)?
0,25x^3 + 0,5x^2+15/4x = 3
Bitte mit Rechenweg, ich schaffe es nicht diese Gleichung aufzulösen.
5 Antworten
Normiere zunächst:
0.25x³+0.5x2+15/4 * x = 3 | *4
x³+2x²+15x=12 | -12
x³+2x²+15x-12=0
Gibt es nun ganzzahlige Nullstellen, sind sie Teiler vom Absolutglied (-12). Mögliche Kandidaten sind also ±12 ; ±6 ; ±4 ; ±3 ; ±2 ; ±1. Probier die erstmal alle durch und führe dann mit den Nullstellen, die du hast, Polynomdivisionen durch (es reicht hier eine einzige, dann sollte dein Term von Grad 2 sein, da geht's dann per Lösungsformel weiter).
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Aber surprise, surprise: Die einzige Nullstelle ist nicht mal ganzzahlig und schier unmöglich zu erraten. Hier bringt das Newton-Verfahren oder eine Lösung per Computer-Algebra-System den gesuchten Wert.
Hallo Spiikeh
Die angegebene Funktion f(x) = 0,25x³+0,5x²+(15/4)x-3 hat leider keine leicht zu erratende Nullstelle.
Aus den Ableitungen f'(x) = 0,75x²+x+(15/4) und f''(x) = 1,5x+1 kann man folgendes entnehmen:
1. f'(x) = 0; ---> 0,75(x²+(4/3)x+5) = 0; ---> x²+(4/3)x+(2/3)² + (2/3)²+5 =0: ---> (x+2/3)² = - 49/9 hat keine Lösung, da (x+2/3)² nicht negativ werden kann, daher gibt es kein Maximum und kein Minimum. Also gibt es nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
2. f''(x) = 0; ---> 0 = 1,5x+1; ---> x = -2/3; Bei x = -2/3 liegt der Wendepunkt. Der zugehörige y-Wert ist y = 0,25(-2/3)³+0,5(_2/3)²+(15/4)(-2/3)-3 = -5,352.
3. die Steigung im Wendepunkt ist f'(-2/3) = 3,42. Dies ist die geringste Steigung im Kurvenverlauf; vor und nach dem Wendepunkt wird sie allmählich größer.
4. Für x=0 ist f(x) = -3; für x=1 ist f(x) = 1,5. Der gesuchte Schnittpunkt mit der x-Achse liegt also dazwischen und zwar näher an x=1. Als erste Näherung kann man x=2/3 nehmen, damit erhält man f(x) = 0,204. x muss also etwas kleiner als 2/3 sein. Durch eines der bekannten Näherungsverfahren kann man die Nullstelle dann noch genauer ermitteln.
Es grüßt HEWKLDOe.
Sicher, dass die Gleichung stimmt?
Bei einer Gleichung 3. Grades musst du in der Regel die erste Nullstelle erraten und das ist hier so gut wie unmöglich.
Eine Annäherung könntest du aber machen
Die geschlossene Lösung kubischer Gleichungen ist meist nicht Inhalt der Schulmathematik.
Hier ein Ansatz:
Eine Nullstelle ist 3, wie geht es dann weiter?