Wie kann man bei einem Koordinatensystem ablesen, um wie viel eine PARABEL gestreckt/gestaucht ist?
Im Thema Mathematik hatten wir Parabeln und deren Gleichungen. In einer Aufgabe soll man zu Parabeln dazugehörige Gleichungen aufstellen, und wie das geht weiß ich auch, nur eines weiß ich nicht:
Wie kann man aus der Parabel im Koordinatensystem ablesen, ob sie gestreckt oder gestaucht ist?
Zum beschreiben der Parabeln mit Gleichungen verwende ich diese Standardgleichung:
f(x)=ax²+bx+c
(Da, wo "+" steht, kann ggf. auch "-" stehen)
Wie kann ich aus der Zeichnung ablesen, wie groß a ist?
Danke im Vorraus!
5 Antworten
das a kannst dun nur durch Berechnung bestimmen;
entweder du liest 3 Punkte ab und setzt sie in deiner Formel ein und berechnest a,b,c mit Gleichungssystem, oder
du liest den Scheitelpunkt und noch einen Punkt ein und setzt in die Scheitelform ein und berechnest a
Scheitelform: y=a(x-xs)² + ys
das a kannst dun nur durch Berechnung bestimmen;
Mit der Methode von unending kann man den Streckfaktor a tatsächlich auch ablesen (sofern die Koordinaten des Scheitelpunktes ( xs | ys) sowie die des zweiten Punktes P( x = xs + 1 | y ) nicht allzu "krumm" sind, sodass man sie also durch Ablesen bestimmen kann).
Denn wenn man die Scheitelpunktform
y = a * ( x - xs ) ² + ys
nach a umformt, erhält man:
a =( y - ys ) / ( x - xs ) ²
Wenn aber in dem Ausdruck auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens
x = xs + 1
ist (wenn man also vom Scheitelpunkt um eine Einheit nach rechts geht), dann wird der Nenner zu 1 und man erhält:
a = y - ys
also ist a dann gerade gleich der Differenz der y-Koordinate des zweiten Punktes und der y-Koordinate des Scheitelpunktes.
.
Dennoch ist deine Antwort natürlich einen DH wert.
Deine allgemeine Formel ist ax² +bx +c= f(x)
Ein Polynom zweiten Grades! Dein a gibt Dir an ob Streckung oder Stauchung....Beispiel: a liegt zwischen 0 und 1, dann hast du einen Teller ( Stauchung) und wenn a=1 so hast du eine Normalparabel und wenn a>1 dann bekommst ein Sektglas ( Streckung)
das liegt daran, das dein für x eingestzter Wert für a kleiner 1 auch kleiner wird und für a größer 1 na klar schnell gross wird
ok
dein b und dein c erfüllen andere "Verschiebungen" aber deine Frage war ja ob gestaucht oder gestreckt....dafür ist allein das a zuständig
also: a= 1 --> Normalparabel
a kleiner 1 bis null --> gestaucht ( Tellermine)
a größer 1 --> gestreckt ( Sektglas)
das ganze gilt bei +a für nach oben geöffnete und bei -a für nach unten geöffnete Parabeln gleich..
ok?
Wenn du aus der zeichnung ablesen willst wie gross a ist musst du deine Parabel mal nehmen und den Scheitel als null betrachten....dann dort (o/o) annehmen und mal auf (1/y) projezieren..... also eigentlich mal schauen was für ein wert bei (1/y) für y rauskommt und dann in y= x² einsetzen und ausrechnen... aber dort schön auppassen dass du deine Punkte projezierst, also auf Scheitel (o/o) anwendest und deine Parabel verschiebst....
ok?
wenn noch Fragen, dann los
Entschuldige bitte meine "Besserwisserei", aber es heißt nun mal projizieren. Schau im Duden nach. Nichts für ungut...
a = der Stauchungs- / Streckungsfaktor - übrigens immer, egal ob Normalform oder Scheitelpunktform.
Wie du es ablesen kannst? Geh vom Scheitelpunkt aus einen nach rechts und schau, wieviel du dann nach oben oder unten gehen musst. Anders als bei einer linearen Funktion muss dieser Betrag 1 sein, da 1² = 1 ist. Musst du nun z.B. 0,5 nach oben, ergibt ein ein Streckfaktor von 0,5, da 0,5 * 1² = 0,5. Gehst du beispielsweise 3 nach unten, ergibt sich ein Stauchungsfaktor von -3, da -3 * 1² = -3.
Einigermaßen verstanden? Wichtig ist immer, dass du vom Scheitelpunkt der Parabel aus gehst und nicht vom Ursprung oder den Schnittpunkten der x- oder y-Achse!
Aufgrund der anderen Antworten:
Du kannst dir natürlich auch jeden anderen Schritt ausdenken. Nur denke dann an das Quadrat. Ist 1 nicht eindeutig abzulesen, 2 aber dafür - du müsstest 2 nach unten gehen - ergibt sich
a * 2² = -2
Das wiederum ist eine im Kopf schnell lösbare Aufgabe.
a = -2/2² = -1/2
bei den sehr einfachen parabeln (von denen du scheinbar sprichst) kann man das an dem punkt ablesen, der eins rechts (oder links) vom scheitelpunkt entfernt liegt. du gehst also soweit auf der x-achse und schaust dann, wo der y-wert des graphen liegt. ber der normalparabel z.b. ist das ja 1 (also a=1). funktioniert aber wirklich nur bei den sehr einfachen parabeln, bei komplizierteren musst du ein gleichungssystem anlegen
a=1 => Normalparabel
|a|<1 => gestaucht (flacher)
|a|>1=> gestreckt (enger)
also in y = ax² einsetzen na klar....beim Scheitel projeziern in (o/o)...den projezierten Punkt (1/y) einsetzen ...dann nach a auflösen...fertig....
jo