Wie geht man bei vollständiger Induktion solcher Aufgabentypen vor?

Guten Abend ;) Ich bearbeite zur Zeit Aufgaben für die Klausur und habe bei den folgenden Aufgaben Schwierigkeiten, die Schritte der vollständigen Induktion anzuwenden. Im Vergleich zu anderen weniger komplexen Aufgaben d. vollständigen Induktion habe ich keine Probleme :/

Daher bitte ich um eure Hilfe

Dankeschön!

Answer 1

[YBCO123]

Ich würde beim ersten Beispiel beide Ungleichungen separat über Induktion beweisen:

$\left(n+1\right)!\ \ge2^{n+1}\ \forall n\ge4$

und

$2^{n+1}\ \ge\left(n+1\right)^2\ \forall n\ge4$

Hast du eine Idee, wie du dies zeigst?

Multipliziere z.B. die erste Gleichung mit n+1:

$\left(n+1\right)!\ =\ \left(n+1\right)n!\ \ge\left(n+1\right)2^n\ \ge2\ 2^n\ \ge2^{n+1}$

Bei der zweiten kannst Du ähnlich vorgehen.

Comments

[Studentin02]

Ne nicht wirklich, da mich die Binomialkoeffizienten wirklich sehr verwirren. Ich habe es bis jetzt nur mit Summengleichungen usw gemacht :/

[YBCO123]

@Studentin02

wo siehst du da Binomialkoeffizienten?

[Studentin02]

@YBCO123

Ja damit meine ich n! Oder (n+1)!

[YBCO123]

@Studentin02

das ist die "Faktorielle". Ein Binomialkoeffizient ist was anderes.

[Studentin02]

@YBCO123

Stimmt, habe den falschen Fachbegriff benutzt. Kannst du mir denn ein gutes Video oder eine gute Seite empfehlen, sodass ich diese Aufgabe auch lösen könnte?

[YBCO123]

@Studentin02

was genau verstehst du nicht?

[YBCO123]

@YBCO123

z.B. folgt aus

2^n ≥ n^2

2^n+1 = 2*2^n ≥ 2n² ≥ (n+1)²

da

n² ≥ 2n+1

für n ≥ 4

und somit ist der rechte Teil des ersten Beispiels beweisen.

[Studentin02]

@YBCO123

Oh man, ich habe eindeutig zu kompliziert nachgedacht! Habe die Aufgabe jetzt gelöst. Ich dabke dir! :)

Answer 2

[verreisterNutzer]

Die Beweise folgen immer dem gleichen Schema.

1. Überlege dir die Induktionsvariable. In diesen Aufgaben erkennt man sofort, dass es immer n ist. ℝ ist überabzählbar, also sind reelle Zahlen immer ungeeignet.
2. Beweise den Induktionsanfang. Setze n = 4, n = 1 bzw. n = 0 ein und beweise, dass die Aussage wahr ist. Dieser Beweis ist in der Regel trivial.
3. Schreibe die Induktionsannahme an. Du nimmst immer an, dass die gegebene Aussage für ein beliebiges n gilt.
4. Der Induktionsschritt ist die eigentliche Arbeit. Du musst beweisen, dass die Aussage auch für n+1 gilt und darfst die Induktionsannahme für n verwenden. Schreibe die zu beweisende Aussage hin (mit n+1 statt n) und verwende Umformungen und ggf. Abschätzungen, bis du die Induktionsannahme anwenden kannst.

Comments

[Studentin02]

Danke für die ausführliche Antwort und investierte Zeit! Diesen Vorgang habe ich bis jetzt immer nur bei Gleichungen angewendet. Wie würde ich denn bei Ungleichungen vorgehen müssen oder bei n! (siehe 1b.) ? Diese Zeichen verwirren mich auch beim Nachweisen :/

[verreisterNutzer]

@Studentin02

Bei Ungleichungen kann man oft Abschätzungen machen, um so auf die Induktionsannahme zurück zu kommen.

Der Zusammenhang (n+1)! = (n+1) * n! dürfte hilfreich sein.

[Studentin02]

@verreisterNutzer

Ok vielen vielen dank, dann werde ich es jetzt wieder versuchen. :) Könntest du denn in dem Zusammenhang gute Videos/Seiten empfehlen, die auch die vollständige Induktion bei Ungleichheiten behandeln. Finde nur etwas zu Gleichungen und Mengen..

[verreisterNutzer]

@Studentin02

Da kenne ich konkret nichts. Vielleicht findest du irgendwo ein Beispiel mit Ungleichungen, das du dir ansehen kannst. Das Schema ist das gleiche wie mit Gleichungen, aber häufig sind im Induktionsschritt eben Abschätzungen notwendig.

[Studentin02]

Kann man diese Ungleichungen denn zu Gleichungen umformen, sodass ich links und rechts etwas stehen habe?