Wie geht diese Parameter-Aufgabe?
Gegebene Funktion: fa(x) = a(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) mit Dfa= R, a=R und a>0. Folgende Aufgabe: Berechnen Sie den Wert für a so, dass die Tangente an den Graphen der Funktion fa an der Stelle x=-3 die y-Achse bei y=5 schneidet.
Kann mir jemand erklären wie man das angeht? Danke!!! :)
4 Antworten
Hallo Dede004
Gegeben sind fa(x) = a(x³+2x²-7x+4) und die Gerade t(a) = mx+b, die fa(x) im Punkt B(-3Ifa(-3)) berühren soll, also Tangente ist, und die außerdem die y-Achse im Punkt S(0I5) schneiden soll, was b=5 bedeutet..
Vorausschauend wird vorab f'a(x) berechnet: f'a(x) = a(3x²+4x-7).
Zunächst interessiert der y-Wert von B: fa(-3) = a(-27+18+21+4) = 16a. ---> B(-3I16a)
Außerdem interessiert die Steigung von fa(x) und ta(x) im Punkt B:
f'a(-3) = a(27-12-7) = 8a (=m!)
Die Tangentengleichung lautet damit ta(x) = mx+b = 8ax+5.
Da fa(-3) gleich ta(-3) sein muss, gilt 16a = -24a + 5; ---> 40a = 5; ---> a= 1/8.
Mit a = 1/8 ist fa(x) = (1/8)(x³+2x²-7x+4) und ta(x) = mx+5.
Der Berührpunkt ist damit B(-3I2).
Es grüßt HEWKLDOe.
Tangente im Punkt (x0|y0) mittels Punkt-Steigungs-Form y=m*(x-x0)+y0
Tangente t(x)=fa'(-3)*(x+3)+fa(-3)
Schnittpunkt mit y-Achse (0|5), also t(0)=5 daraus kann dann a bestimmt werden
statt der Punkt-Steigungs-Form kann auch y=mx+b verwendet werden
m=fa'(-3)
x=-3
y=fa(-3)
einsetzen und b bestimmen
Als Lösung steht da, dass die Tangentengleichung wie folgt aussiehst: t(x)= 8a * (x+3) + 16a. Auf die Steigung m=8a bin ich gekommen durch die Ableitung. Aber wieso ist t=16a, was sich aus fa(-3) ergibt (das müsste doch der y-Wert sein) und wie kommt man für x auf (x+3)??
Und die 16a ergeben sich ergeben sich durch fa(-3), was ja eigentlich der y-Wert sein müsste. Aber in der Lösung wird das als b gekennzeichnet.
Zunächst musst du wissen, was die Tangente ist (Tipp: hat mit Ableiten zu tun). Wenn du die Tangentenfunktion hast (also eine lineare Funktion), sind dort die Werte für den gegebenen Schnittpunkt einzusetzen, und dann nach a auflösen und fertig.
Als Lösung steht da, dass die Tangentengleichung wie folgt aussiehst: t(x)= 8a * (x+3) + 16a. Auf die Steigung m=8a bin ich gekommen durch die Ableitung. Aber wieso ist t=16a, was sich aus fa(-3) ergibt (das müsste doch der y-Wert sein) und wie kommt man für x auf (x+3)??
berechne zunächst die Steigung m der tangente mit
f '(-3)
dann y = mx+b
und P(0; 5) einsetzen
Das stimmt aber nicht laut der Lösung. Für a muss 1/8 rauskommen und das tut es so nicht. Die berechnen t mit fa(-3) und x ist in der Tangentengleichung gleich „x+3“??
a= 1/8 kommt ja auch raus;
Tangente t(x) = 8ax+5
f(-3) =16a
t(-3)=-24a+5
gleichsetzen
16a = -24a+5
a= 1/8
rechne mal durch.
Als b wird fa(-3) benutzt, aber warum? Und warum wird für x (Bei Tangentengleichung) in der Lösung (x+3) verwendet???