Wie beweise ich folgende Menge?
Beweis zur Menge:
A = B genau dann, wenn A ∪ B = A ∩ B?
2 Antworten
Bei Äquivalenzen ist es oft sinnvoll, dass du zuerst die Implikation von links nach rechts ("=>"), und dann die von rechts nach links ("<=") zeigst.
"=>" Solltest du selbst zeigen können.
Für "<=" kannst du zum Beispiel zuerst annehmen, dass A ≠ B gilt, und dann folgern, dass die Rechte Seite dann auch nicht gilt. Du kannst oBdA annehmen, dass es ein Element x gibt, sodass x in A liegt, jedoch noch in B. Nutze dann die Definition von der Vereinigung und dem Schnitt, um zu folgern, dass die Beiden resultierenden Mengen nicht gleich sein können.
Von links nach rechts trivial.
Von rechts nach links: Sei also A ∪ B = A ∩ B. Zu zeigen: A = B
Sei x aus A, dann ist x aus A ∪ B, also n.V. x aus A ∩ B, also x aus B. D.h. A ist Teilmenge von B.
Genauso zeigt man dass B Teilmenge von A ist.
Also muss A = B sein.