Wie berechne ich mir hier die Determinante?

Ich habe es mit Laplace versucht, aber ich habe am ende immer noch das a drinnen. Wie löse ich das? Wie berechne ich in diesem Fall die Determinante?

Answer 1

[mihisu]

[...], aber ich habe am ende immer noch das a drinnen.

Und warum stört dich das? Die Determinante dieser Matrix hängt eben nun einmal von a ab. (Was auch nicht verwunderlich ist, da auch die Matrix von a abhängt.)

Ich habe es mit Laplace versucht, [...]

Das ist ein guter Ansatz. So würde ich hier auch vorgehen. Ich würde auch den Laplace-Entwicklungssatz verwenden und bzgl. der letzten Zeile entwickeln. Bei der verbleibenden 3×3-Matrix kann man die Determinante dann mit der Regel von Sarrus bestimmen.

Demnach erhält man in Linearfaktoren zerlegt:

$\det\left(A\right)=\left(a-1\right)^2\cdot\left(a-\left(1-\sqrt{3}\right)\right)\cdot\left(a-\left(1+\sqrt{3}\right)\right)$

Bzw. ausmultipliziert:

$\det\left(A\right)=a^4-4a^3+3a^2+2a-2$

Comments

[Kampfkeks31]

ist diese Matrix dann inventierbar ? Wie erkenne ich das?

[mihisu]

@Kampfkeks31

Da musst du eine Fallunterscheidung machen. Denn bei manchen Werten für a ist die Matrix invertierbar, und bei manchen eben nicht.

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

Die Determinante der Matrix ist im konkreten Fall genau dann gleich 0, wenn a = 1 oder a = 1 - √(3) oder a = 1 + √(3) ist.

============

Ergebnis: Die Matrix ist genau dann nicht invertierbar, wenn a = 1 oder a = 1 - √(3) oder a = 1 + √(3) ist.

Oder andersherum ausgedrückt: Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn a ≠ 1 und a ≠ 1 - √(3) und a ≠ 1 + √(3) ist.