Welches von allen gleichschenkligen Dreiecken mit dem Umfang 24 cm hat den grössten Flächeninhalt?
Kann mir jemand helfen ?
2 Antworten
Internet-Definition -->
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen.
b = a
a + b + c = 24
Da b = a ist also 2 * a + c = 24
Flächeninhalt Dreieck -->
F = (1 / 2) * c * h _ c
h _ c = √(a ^ 2 - (c / 2) ^ 2)
F = (1 / 2) * c * √(a ^ 2 - (c / 2) ^ 2)
2 * a + c = 24
c = 24 - 2 * a
F = (1 / 2) * (24 - 2 * a) * √(a ^ 2 - ((24 - 2 * a) / 2) ^ 2)
Das soll jetzt ein Maximum werden, a muss aber auf jeden Fall kleiner als 12 sein, weil es sonst kein Dreieck mehr ist.
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F = (12 - a) * √(a ^ 2 - (12 - a) ^ 2)
(12 - a) ^ 2 = 144 - 24 * a + a ^ 2
F = (12 - a) * √(a ^ 2 - (144 - 24 * a + a ^ 2))
F = (12 - a) * √(24 * a - 144)
F = √((12 - a) ^ 2 * (24 * a - 144))
F = √( (144 - 24 * a + a ^ 2) * (24 * a -144) )
F = √( 24 * a ^ 3 - 720 * a ^ 2 + 6912 * a - 20736)
F = ( 24 * a ^ 3 - 720 * a ^ 2 + 6912 * a - 20736) ^ (1 / 2)
Ableitung mit der Kettenregel -->
Substitution --> u = 24 * a ^ 3 - 720 * a ^ 2 + 6912 * a - 20736
Äußere Funktion --> u ^ (1 / 2)
Äußere Ableitung --> 1 / (2 * u ^ (1 / 2))
Innere Funktion --> 24 * a ^ 3 - 720 * a ^ 2 + 6912 * a - 20736
Innere Ableitung --> 72 * a ^ 2 - 1440 * a + 6912
Äußere Ableitung mal innere Ableitung -->
(72 * a ^ 2 - 1440 * a + 6912) / (2 * u ^ (1 / 2))
Rücksubstitution -->
(72 * a ^ 2 - 1440 * a + 6912) / √(2 * (24 * a ^ 3 - 720 * a ^ 2 + 6912 * a - 20736))
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Davon muss man jetzt die Nullstellen ausrechnen, da der gesamte Ausdruck Null wird, wenn der Zähler Null wird, braucht man nur die Nullstellen von
72 * a ^ 2 - 1440 * a + 6912 ausrechnen !
72 * a ^ 2 - 1440 * a + 6912 = 0 | : 72
a ^ 2 - 20 * a + 96 = 0
Mit Hilfe der pq-Formel erhält man als Lösungen -->
a = 8 und a = 12
a = 12 fällt weg, weil c = 0 wird und es dann kein Dreieck mehr ist.
Also bleibt nur noch a = 8 als Lösung übrig.
Es gilt also a = 8 und b = 8 und c = 8.
Wenn alle drei Seiten gleich lang sind, dann ist der Flächeninhalt des gleichschenkeligen Dreiecks maximal.
Das wird das gleichseitige Dreick mit den Seitenlängen 8, 8 und 8 sein. Welche Hilfsmittel hast du zur Verfügung. Habt ihr schon Differentialrechnung ?
Ja hatten wir auch schon. Man müsse bei dieser Aufgabe noch alle Lösungsschritte angeben, die bei einer Extremalwertaufgabe notwendig sind.
die beiden Schenkel x, die Baisis ist dann 24-2x, die halbe Basis also 12-x. Mit Pythagoras dann die Höhe ausrechnen, dann ist der Flächeninhalt F(x) = (12-x) • h und dann lokales Maximum bestimmen
natürlich noch durch 2, ist ja ein Dreieck