Welche quadratische Funktion brauche ich für diese Aufgabe?
Der Wasserstrahl eines Springbrunnens hat Parabelform und gelangt 3 Meter hoch und 6 Meter weit. Welche quadratische Funktion beschreibt dieser Parabel, wenn der Wasserstrahl im Koordinatenursprung ansetzt?
2 Antworten
Die Quadratische funktion lautet: (-(1/3))*x^2+x*2=y
Du hast die punkte:
- (0 | 0)--anfang des Springbrunnens ;
- (6 | 0)--ende des Springbrunnens ;
- (3 | 3) Mitte des Springbrunnes;
Tipp c = 0 da wenn x=0 ist ist y auch 0 (siehe 1.)
damit dann einfach gausverfaren machen und fertig.
Wenn du das Gaußvervaren nicht kennst:
So geht es auch. Und da ich dich auf einen Umweg geführt hatte, mache ich dir diesen Rechenweg mal vor. Er geht davon aus, dass eine quadratische Parabel (schon mundgerecht geschrieben) diese Form hat: ax² + bx + c = y
Erster Punkt (0|0): a *0 + b *0 + c = 0 => also auch c = 0
Zweiter Punkt (3|3): a * 3² + b * 3 + c = 3
9a + 3b = 3 c = 0 weiß ich ja
Diese Gleichung kann ich durch 3 dividieren.
3a + b = 1
b = 1 - 3a
Dritter Punkt (6|0): 36a + 6b = 0
Hier setze ich das b ein:
36a + 6(1-3a) = 0
36a + 6 - 18a = 0 | -6
18a = -6 | /(-18)
a = - 1/3
b = 1 - 3(-1/3)
b = 2
Damit ist y = -1/3 x² + 2x
Oben habe ich die Scheitelpunktform. Die werde ich gleich mal umrechnen.
Bei geeignetem Koordinatensystem sind 6 m (links -3 und rechts +3) die Nullstellen der Parabel. (0|3) ist dann der Scheitelpunkt.
Die passende Parabel (nach unten geöffnet mit Schnittpunkt 3 auf der y-Achse) sieht so aus:
y = -ax² + 3
Da setze ich nun eine Nullstelle ein, z.B. (3|0):
0 = -a * 9 + 3
Das ergibt ... a = -1/3
Daher bekommen wir die Parabel: y = -1/3x² + 3
Die 3 Punkte kann man als Probe im Kopf verifizieren.
Leider gibt einem das System nicht Zeit genug, dies zu korrigieren, wenn man den Text losgeschickt hat.
Ich kann natürlich nicht den Ursprung zur Spiegelachse der Parabel machen, wenn sie dort beginnen soll. Aber die Tatbestände bleiben bestehen. Ich muss nur die Parabel nach rechts rücken. Das heißt: beim Rücken nach rechts um 3 wird der x-Wert der Scheitelpunktgleichung um 3 vermindert.
y = - 1/3 (x - 3)² + 3
Das ist deshalb die richtige Funktion. Ich prüfe mal:
x = 0 => y = -1/3 (9) + 3 = 0
x = 3 => y = 3
x = 6 => y = 0
Das ist die Scheitelpunktform. Für die allgemeine Form rechne ich es mal um, damit du siehst, dass bei der anderen Rechnung das Gleiche herauskommt:
y = - 1/3 (x - 3)² + 3 | 2. Binomische Regel
y = - 1/3 (x² - 6x + 9) + 3 | einklammern
y = - 1/3 x² + 2x - 3 + 3
y = - 1/3 x² + 2x | genau wie unten
(oder oben, wenn's verschoben wird)
KORREKTUR:
Ich sehe erst jetzt, dass der Wasserstrahl im Koordinatenursprung einsetzen soll. Dann muss die Parabel verschoben werden. Ich melde mich gleich nochmal.