Frage von NiklasKarelli, 42

Was ist Verkettung von Funktionen?

Ich verstehe es einfach nicht. Was ist das? Warum macht man das / wozu braucht man das? Und woher weiß man wie das verkettet wird oder so höh?

Und warum ist k(x) = (2x^2 - x^3)^2 angeblich eine Verkettung aus w(x) = 2x^2 - x^3 und z(x) = x^2?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 10

Man kann das alles beweisen. Aber es ist schwierig zu verstehen.

Wichtig ist, damit umgehen zu können. Die Kettenregel braucht man ja auch nur, wenn in einer Funktion eine weitere drinsteht. Meist steht die dann auch noch in einer Klammer.

Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

f(x) = sin (x² + 1)          f '(x) = ?

Am besten ist, man tut so, als sei die Klammer ein x.
Die Ableitung ist dann: cos (x² + 1), also Kosinus von Klammer.

Dann guckt man sich die Klammer an und leitet auch diese ab:  2x

f '(x) = 2x cos (x² + 1)

Kommentar von Volens ,

Verifizieren kannst du es auch, wenn du (x² + 1)² ableitest.
Elementar ist das ja ein Binom.
Ausgerechnet: x^4 + 2x² + 1.
Das ist leicht abzuleiten,
Dann leitest du die Klammerform auch ab und wirst feststellen, es kommt das Gleiche heraus.

Antwort
von Rubezahl2000, 16

In deinem Bsp soll die Funktion einfach nur in 2 aufeinanderfolgende Schritte zerlegt werden.
Bei der Funktion k(x) = (2x^2 - x^3)^2
wird im 1. Schritt die Quadrierung weggelassen und nur der Teil (2x^2 - x^3) betrachtet.
Dann im 2. Schritt wird quadriert.

Antwort
von kepfIe, 27

Wozu man das in der Schule braucht kann ich dir nich wirklich sagen. Aber in der höheren Mathematik wird das ziemlich wichtig, wenns um lineare Abbildungen und so Kram geht.  

k(x) = w(z(x)) = (w o z)(x)

Antwort
von yanabanana, 27

du hast für das "x" in z(x)=x² die ganze funktion w(x) eingesetzt, hast dann also z(w(x))

Das kann dir zB beim Ableiten helfen

Antwort
von Spirit528, 9

w(x) = 2x^2 - x^3 
z(x) = x^2

k(x) = z(w(x))

Das eingehende x von k(x) geht in die funktion w(x). Verkettete Funktionen werden von rechts nach links aufgerufen bzw. von innen nach außen. 

w(x) ist  2x^2 - x^3

Daher ist
k(x) = z(2x^2 - x^3)

Also geht der Term 2x^2 - x^3 als x in z(x) ein bzw. z(x) wird mit 2x^2 - x^3 als Parameter aufgerufen. z(2x^2 - x^3)

Und z(x) ist x^2, daraus folgt, dass z(2x^2 - x^3) = (2x^2 - x^3)^2 ist

Daher ist k(x) eben (2x^2 - x^3)^2

Zugegeben, dass der Parameter hier immer x heißt ist verwirrend.

Das hier macht es etwas deutlicher:

w(a) = 2x^2 - x^3 
z(b) = x^2

k(c) = z(w(c))

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