Was ist die rekursive Darstellung von dieser Zahelnfolge?

Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt erklären wie man die rekursive Darstellung für wine Zahlenfolgen mit Brüchen findet. Mein Beispiel: 1, 1/2, 1/3, 1/4, …

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Bei 1, 2, 3, 4, ... wäre es einfach, nämlich

$a_{n + 1} = a_n + 1, \qquad a_1 = 1$

Bei Kehrwerten ist es dasselbe, man muss zuvor und danach jeweils den Kehrwert bilden.

$a_{n+1} = \frac{1}{\frac{1}{a_n} + 1} = \frac{a_n}{a_n + 1} = 1 - \frac{1}{a_n + 1}, \qquad a_1 = 1$

Allgemein, wenn eine explizite Darstellung aₙ = a(n) gegeben ist, die umkehrbar ist, kann man a(n) nach n auflösen, n um eins erhöhen und dann wieder in die explizite Darstellung einsetzen. $a_{n+1} = a(a^{-1}(a_n) + 1)$

Wenn die explizite Darstellung nicht umkehrbar ist, gibt es auch nicht immer eine rekursive Darstellung, wo nur die Information über das vorherige Folgenglied genügt.