Warum muss die Anzahl der Elemente in einem endlichen Körper immer eine Primzahl(potenz) sein?
Frage steht im Titel.
Was für Elemente in welchem Körper? In meinem Körper habe ich zehn Finger, die sind nicht prim ;-)
Das ist mathematik :)
2 Antworten
Das liegt daran, dass die Charakteristik jedes endlichen Körpers K eine Primzahl p ist:
Falls p×1=0 und p=a×b muss bereits p=a oder p=b gelten, da es in einem Körper keine Nichtnullteiler gibt.
Deshalb kannst du Z/pZ als Unterkörper von K auffassen und K als Vektorraum über Z/pZ betrachten. Da K endlich ist, ist der Grad n der Körpererweiterung endlich. D.h. die Dimension von K als Z/pZ Vektorraum ist gleich n und endlich. Also ist K isomorph zu (Z/pZ)^n und hat daher p^n Elemente.
Du meinst endliche Körper.
Man betrachte die Elemente 1, 1+1, ..... allgemein n*1, wobei es die 1 aus dem Körper ist. Wegen der Endlichkeit ist irgendwann Schluss, d.h. es gibt ein n so dass n*1 = 0.
Das kleinste natürliche n mit dieser Eigenschaft muss eine Primzahl sein, sonst wäre n = a * b zerlegbar in natürliche Zahlen > 1, dann ist a * (b * 1) = 0, also schon b * 1 = 0, da der Körper nullteilerfrei ist. Das wäre wegen b<n ein Widerspruch.
Auf diese Art kommt schon mal die Primzahl p(=n) ins Spiel. Um es abzukürzen, führt die Tatsache dass p*1 = 0 zum Primkörper, das ist der kleinste Körper, der im ursprünglichen Körper enthalten ist. Der Primkörper hat p Elemente. Der ursprüngliche Körper ist ein m-dimensionaler Vektorraum über dem Primkörper und hat darum p^m Elemente, denn aus einer m-elementigen Basis und p Skalaren kann man p^m Elemente linear kombinieren.