Frage von MicroZocker, 44

Warum ist die Integrationskonstante nach dem integrieren mit linearer Substitution anders als nach dem Ausmultiplizieren?

Hi, unserem Mathekurs ist aufgefallen, dass beispielsweise beim Integrieren von einer Funktion

f(x) = (3x+2)³

die Stammfunktion nach linearer Substitution eine andere Integrationskonstante aufweist, als die nach dem Ausmultiplizieren. Warum ist das so, beziehungsweise wie hängen die beiden Konstanten voneinander ab?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von UlrichNagel, 27

Die Kettenregel rückwärts anwenden geht hier nicht, da die innere Ableitung 3x fehlt. Also einfach umformen in die Polynomform und alle Glieder einzeln integrieren + C (Integrationskonstante)

Kommentar von ac1000 ,

*sigh*

∫(3x+2)³dx

Substitution: u=3x+2 ---> du =3dx ---> dx = 1/3 du

Somit:

∫(3x+2)³dx =

∫ u³/3 du =

1/4 * u^4 /3 + C =

1/12 * u^4 + C =

1/12 * (3x+2)^4 + C

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Die Integrationskonstante ist ein beliebiger Wert, daher gibt es auch nicht DIE Stammfunktion.
f(x)=(3x+2)³ ; (Ableitung von 3x+2=3)
integriert mit linearer Substitution: F1(x)=1/(4*3)(3x+2)^4=1/12(3x+2)^4  +C1

f(x) ausmulitpliziert: f(x)=27x³+54x²+36x+8
"Standardintegration": F2(x)=27/4x^4+18x³+18x²+8x  +C2

F1(x) ausmultipliziert: F1(x)=27/4x^4+18x³+18x²+8x+(16  +C1)

Im Grunde spielt das C keine besondere Rolle. Beim "Zurückableiten" fällt es weg, genauso wie beim bestimmen des bestimmten Integrals innerhalb zweier Grenzen.

(Wählst Du C1=0 und C2=16 hast Du bei beiden Stammfunktionen das "Anhängsel" gleich...)




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