Vollständigkeit nachweisen?
Hallo,
Ich habe gerade keinen Ansatz dafür, wie ich diese Aufgabe bearbeiten könnte. Generell fällt es mir schwer, mir etwas unter diesen Räumen vorzustellen.
Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich mir das alles vorstellen kann und wie ich dann Vollständigkeit nachweisen bzw. widerlegen kann?
LG und Danke im Vorraus
1 Antwort
Beim ersten Raum handelt es sich um die stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall [a,b] mit der Maximumsnorm, beim zweiten Raum ebenfalls um die stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall [a,b], aber mit einer anderen Norm, hier wird die Maximumsnorm der Funktion und die ihrer Ableitung addiert.
Konvergenz bzgl. der Maximumsnorm heisst gleichmässige Konvergenz. Der Limes einer gleichmässig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig. Allerdings ist der Limes einer gleichmässig konvergenten Folge differenzierbarer Funktionen nicht zwingend wieder differenzierbar. Darum dreht sich diese Aufgabe.
Bei der (a) muss man ein Gegenbeispiel finden, da sollte eine online Recherche schnell zum Ziel führen.
Bei der (b) muss man ausnutzen, dass Konvergenz bzgl. der alternativen Norm bedeutet, dass sowohl die Folge der Funktionen als auch die ihrer Ableitungen gleichmässig konvergiert, womit nachzuweisen wäre, dass der Limes dann (stetig) differenzierbar ist.