Frage von frageinnot, 68

Verstehe die Binomischen Formeln nicht?

Hi,

In der 8. Klasse war ich in einer Hauptschule. Nun bin ich in einer Realschule(Sekundarstufe..) Das Problem ist, dass wir in der 8. Klasse das Thema nicht hatten und ich somit im Unterricht (jetzt klasse 9) nicht mitkomme, da ich nix verstehe. Wer ist bereit dazu, mir alles vom Anfang an zu erklären oder gibt es irgendwie eine Seite, die alles wirklich ! von Anfang an erklären?

Beispiel: 1. (a+b)²=a²+2ab² 2. (a-b)²=a²-2ab+b² 3. (a+b)(a-b)=a²-b²

Und was das hier soll weiß ich überhaupt nicht: (3+x)²=3²+23x+x²=9+6x+x²

In der Hauptschule hatten wir halt das Thema Gleichungen. Also bsp. 4x+3y-5+7+8y-2x

oder etwas schieriger : 7x-4x+35-19 = 50-24-3x+x

Und inzwischen habe ich wieder vergessen, wie das überhaupt mit den Gleichungen ging..ich weiß halt nur, dass man erst irgendwelche Klammern auflösen soll dann zusammenfassen oder sowas. In der 8. Klasse hatten wir uns hauptsächlich mit dem Thema Flächen und Körper beschäftigt... Und Prozentrechnung halt. Habs leider vergessen .. und binomische Formeln verstehe ich erst recht nicht! Wer kann mir helfen? :/

MFG

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 30

Diese 3 Formeln sind im Grunde nichts anderes als die allgemeinen Umformung.

Zwei Klammern multiplizierst Du miteinander, indem Du jeden Wert der ersten Klammer mit jedem Wert der zweiten Klammer multiplizierst und anschließend passende Summanden zusammenfasst. Hast Du nun zwei Klammern, in denen die (beiden) Summanden jeweils gleich sind, also allgemein a und b, dann brauchst Du nicht lange rumrechnen (wenn Du die Formeln im Kopf hast):

1. (a+b)²
der unwissende rechnet: (a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²
kennst Du diese Formel, kannst Du Dir den fettgedruckten Zwischenschritt sparen.

Das gleiche gilt für die 2. und 3. Formel:
2. (a-b)²=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b²
3. (a+b)(a-b)=a²-ab+ba-b²=a²-b²

Hast Du nun als Beispiel (3+x)² könntest Du den Umweg über den Zwischenschritt gehen: 3²+3x+x * 3+x²

Da Du aber die Formel (bald) auswendig kannst, brauchst Du nur den ersten Wert quadrieren, den zweiten Wert quadrieren und dazwischen kommt das Produkt der beiden Werte mit 2 multipliziert, also:
(3+x)²=3²+2*3*x+x²=9+6x+x²

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 27

Die binomischen Formeln sind eine Abkürzung. Grundsätzlich werden beim Multiplizieren von Summen die Summanden alle miteinander multipliziert und addiert:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Die 1. Binomische Formel ist eine Art Zusammenfassung für den Fall, dass c = a und b = d ist:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²,

Letzteres, weil ba = ab ist (Kommutativgesetz).

Die zweite binomische Formel ist aus der ersten herzuleiten, indem man b durch –b ersetzt.

Die 3. Binomische Formel beruht darauf, dass sich die gemischten Terme herausheben:

(a + b)(a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²,

wiederum wegen ab = ba.

Expertenantwort
von Nadelwald75, Community-Experte für Schule, 24

Hallo frageinnot,

alle deine mathematischen Fragen kann man hier nicht
behandeln, daher nur:

Die drei binomischen Formeln werden gelöst, indem du erst mal die Schreibweise mit den Quadraten änderst. Zwischen den Klammern steht ein
Malzeichen. Du hättest dann:

((a + b) (a + b)

(a – b) (a – b)

(a + b) (a – b)

Jetzt gelten die Regeln:

Jede Zahl vorne wird mit jeder Zahl hinten malgenommen.

+ mal + gibt +

+ mal – gibt –

+ mal – gibt –

Dann fängst du an: a mal a gibt a quadrat…. usw.

Eine weitere Möglichkeit, die binomische Formel zu erklären,
wäre die Zeichnung.

(Habe ich in Bildern angefügt, und da müsstest du mal ganz langsam und genau nach meiner Anweisung überlegen, am besten das mal selbst aus
freier Hand zeichnen).
(Zeichnung öffnen, ausdrucken und dann nach der Beschreibung vergleichen)

Zu 1: Die erste Formel stellst du als ein Quadrat dar mit den Seitenlängen a+b. Du kannst dann in der Zeichnung sehen, dass es sich aus vier Teilen zusammensetzt: ein Quadrat mit a, zwei Teile ab und ein Quadrat mit b.

Zu 2: Hier hast du ein Quadrat, das entstanden ist, wenn man Seite a um b kürzt (a-b). Was dann bleibt, ist schraffiert. Und das entsteht so: Du nimmst vom ganzen Bild unten das Rechteck ab weg  und ebenso das Rechteck ab rechts.
Jetzt hast du allerdings ein Quadrat mit zu viel abgezogen, da sich die beiden
Flächen ab überschneiden. Das muss also wieder dazu.

Daher dann Quadrat mit a, zweimal ab abgezogen, ein
Quadrat mit b wieder dazu.

Zu 3: Jetzt hast du ein Rechteck: obere Seite aus a+b, andere Seite a, von der b abgezogen ist. Was dann bleibt, ist schraffiert. Und das entsteht so: Du nimmst 1. unten die Fläche ab weg. Rechts fügst du die Fläche ab wieder an. Die ragt aber jetzt unten heraus, denn das Quadrat mit b ist zuviel. Das muss also wieder weg.

Daher also zunächst: ein Quadrat mit a, davon ein Rechteck mit ab abgezogen, dann wieder ein Rechteck mit ab dazu, schließlich ein Quadrat mit b wieder wegnehmen. – In der Rechnung entfällt das dann einfach, wenn du erst ein Rechteck wegnimmst und dann wieder zufügst. Das hebt sich auf.

Das ist jetzt viel Text. Den verstehst du aber auch, wenn du
ihn nicht nur durchliest, sondern selbst zeichnest und ausprobierst.

Antwort
von nifirm, 12

Die Binomischen Forrmeln sind sowas wie Abkürzungen. Wenn du in (a+b)^2 (also hoch 2) da stehen hast, sagen dir die binomischen Formeln dass das a^2 + 2ab + b^2 ist. Wenn du es zu Fuß ausmultiplizieren würdest, würde genau das gleiche rauskommen. Das heißt wenn du sie dir einfach merkst kannst du im Prinzip eine Abkürzung nehmen. Wenn du nicht weisst wie Ausmultiplizieren geht, schreib einfach nen Kommentar ;) Wenn du jetzt also weisst (a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 dann kannst du dir für a und b jeweils eine Zahl aussuchen. Zum Beispiel 2 für a und 3 für b: (2+3)^2 wenn du das da stehen hast, weisst du dass das das gleiche ist wie 2^2 + 2×2×3 + 3^2. Das hättest du im Kopf rechnen können aber wenn in der Aufgabe jetzt statt 2 2x da steht dann geht das nicht mehr so einfach und die binomischen Formeln können dir helfen :)

Antwort
von nifirm, 14

Mit den Gleichungen ist das so, dass du als erstes alles sortierst. Wenn du als Gleichung da stehen hast
(2+x)×3 + 3 = 1+3x+2x
Dann ist das erstmal unübersichtlich. Als allererstes versuchst du, alle Klammern wegzubekommen, weil es dann einfacher wird.
Also auf der linken Seite (2+x)×3 + 3:
Die 3 ignorierst du erstmal und guckst dir nur (2+x)×3 an. Wenn du eine Klammer auflöst, muss alles was in der Klammer steht, einmal mit dem multipliziert werden, was aussen steht, also hier mit 3.
Das heisst: (2+x)×3 ist gleich 2×3 + x×3.
Also hast du nun da stehen: 6+3x+3=1+3x+2x
Alles was ne normale Zahl ist kannst du addieren:
9+3x=1+3x+2x . Alle Zahlen, die noch ein x dabeihaben kannst du auch miteinander addieren:
9+3x=1+5x
Jetzt musst du das Ganze nach x auflösen. Das heisst du versuchst hinzukriegen dass auf der linken Seite nur x steht. Jetzt googel Gleichung nach x auflösen da gibt es zahlreiche Artikel und auch auf yt kannst du gucken bei thesimplemaths die sind super.

Antwort
von Jackie251, 7

Du solltest die 2. Binomische Formel sowieso nicht merken, dann diese ist falsch. Rechne konsequent mit der ersten und Vorzeichen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 10

hier mal üben?

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