Schiefer/Schräger Wurf - Winkel gesucht?
Seit 4 Tagen versuche ich die Aufgabe zu lösen, habe ca. 30 Videos geschaut und Beiträge gesucht. Aber mein explizites Problem, dass der Winkel gesucht wird und eine Höhendifferenz besteht habe ich nicht gefunden. Deshalb steinigt mich bitte nicht wenn ich hier frage!
Zur Aufgabe: Gesucht ist Winkel α. Mitarbeiter A füllt mit einem Schlauf einen Kessel, der 6m tiefer liegt und 6m weit weg ist. Die Geschwindigkeit v0 ist 20m/s. Grube ist deshalb: Breite=Tiefe=6m (Strecke a). Tipp ist noch, dass es 2 Winkellösungen geben soll, wieso auch immer.
Alle Formel die ich habe, benötigen meistens den Winkel. Bisher hatte ich kaum Physik und da es sich um ein Konvergenzmodul (Studium) handelt, wird leider nicht genau darauf eingegangen, wie man Umformungen macht und/oder Formeln kürzt. Das ist Stoff der 4. Woche Physik.
Danke für die konstruktive Rückmeldung und Hilfestellung.
1 Antwort
Die beiden Lösungen kommen dadurch zustande, dass du einmal in hohem Bogen werfen kannst (wie in der Abbildung) und einmal vermutlich schräg nach unten. Das wird die Berechnung aber zeigen. (Es kann auch sein, dass man mit der gegebenen Anfangsgeschwindigkeit überhaupt nicht trifft, weil man einfach nicht weit genug werfen kann.)
Weißt du, wie man die Gleichung einer Wurfparabel aufstellt, wenn Abwurfwinkel und -geschwindigkeit bekann sind?
In diese Gleichung setzt du die bekannten Punkte ein und löst das entstehende Gleichungssystem nach alpha auf.
Das Wesen der Algebra ist, dass man mit unbekannten Größen rechnet.
Die Wurfparabel kommt daher, dass sich zwei Bewegungen unabhängig überlagern, nämlich die gleichförmige (konstante Geschwindigkeit) Bewegung in waagerechter Richtung und die nach unten beschleunigte Bewegung in senkrechter Richtung.
Sinus und Cosinus schaust du dir am besten im Internet an. Eine Skizze in der richtigen Lage und mit üblichen Bezeichnungen habe ich hier gefunden: https://www.gut-erklaert.de/mathematik/winkelfunktionen-sinus-kosinus-tangens.html
Üblicherweise bezeichnet man die waagerechte Achse als x-Achse und die senkrechte Achse als y-Achse. Der "x-Wert" gibt an, wie weit man vom Nullpunkt nach rechts gegangen ist (x nimmt negative Werte an, wenn man nach links gegangen ist) und der "y-Wert" gibt an, wie weit man vom Nullpunkt nach oben gegangen ist (y nimmt negative Werte an, wenn man nach unten gegangen ist).
Beim Zeichnen laufen üblicherweise beide Achsen durch den Nullpunkt und man zeichnet kleine Pfeile an das rechte Ende des eingezeichneten Teils der x-Achse und an das obere Ende des eingezeichneten Teils der y-Achse.
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Die Geschwindigkeit v wird als Funktion der Zeit t aufgefasst. Schreibweise: v(t)
Entsprechend auch die Anteile der Geschwindigkeit in x-Richtung und in y-Richtung:
v_x(t) und v_y(t)
Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung:
v_y(0) = v_0 * sin(alpha)
und in x-Richtung:
v_x(0) = v_0 * cos(alpha)
Den Nullpunkt legen wir der Einfachheit halber in den Abwurfpunkt. Dadurch bekommt der Zielpunkt eine negative y-"Koordinate", aber ich hoffe, dass das nicht zu sehr verwirrt.
Die Bewegung in x-Richtung ist einfach eine gleichförmige Bewegung, damit lässt sich die Strecke nach rechts schnell berechnen:
x(t) = v_x(0) * t = v_0 * cos(alpha) * t
Für y braucht man den senkrechten Wurf. Hier bleibt dir wohl nichts anderes übrig, als die Formeln auswendig zu lernen.
Glücklicherweise haben wir hier eine konstante Beschleunigung, damit haben wir maximal 3 Summanden. Das entspricht wiederum 3 überlagerten "Bewegungen":
- Stillstand beim Ausgangspunkt: y1(t) = y_Ausgangspunkt
- Gleichförmige Bewegung in y-Richtung: y2(t) = v_y(0) * t
- Gleichförmig beschleunigte Bewegung in y-Richtung: y3(t) = 1/2 * b * t²
(diese letzte Formel ist am schwierigsten, besonders der Faktor 1/2 erschließt sich erst, wenn man etwas tiefer in die Mathematik eingestiegen ist).
"b" steht hier für die Beschleunigung - üblicherweise nimmt man "a" (lat. "acceleratio"), aber dieser Buchstabe ist schon belegt.
Insgesamt:
y(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t)
y_Ausgangspunkt habe wir zu 0 festgelegt (durch die Wahl des Nullpunktes), damit ist y1(t) = 0 für alle t.
v_y(0) haben wir oben berechnet, damit ist y2(t) = v_0 * sin(alpha) * t
Die Beschleunigung ist die Fallbeschleunigung, das ist die Erdbeschleunigung, die üblicherweise mit 9,81 m / s² angegeben wird. Bitte nicht von "Sekunde zum Quadrat" verwirren lassen - das ist eine mehr oder weniger formale Rechnung mit Einheiten, damit es mit dem t² nachher wieder mit den Einheiten hinkommt. Aber Achtung: die Fallbeschleunigung wirkt nach unten, also in negative y-Richtung; wir haben also einen negativen Wert für v_y(0)!
Einsetzen und Zusammenfassen der y-Werte:
y(t) = 0 + v_0 * sin(alpha) * t - 1/2 * 9,81 m / s² * t²
Um hieraus die Wurfkurve zu bestimmen, müssen wir eine Beziehung zwischen x und y herstellen. Wir haben hier die Kurve zwar schon in "Parameterform" mit dem "Parameter" t:
x(t) = v_0 * cos(alpha) *`t
y(t) = v_0 * sin(alpha) * t - 1/2 * 9,81 m / s² * t²
aber um mit der Kurve vernünftig rechnen zu können, ist es einfacher, wenn wir das t nicht mehr in den Gleichungen haben, also müssen wir es "eliminieren" ("hinauswerfen").
Dazu lösen wir am einfachsten die erste Gleichung nach t auf:
t = x / ( v_0 * cos(alpha) )
Wenn wir diesen Wert in die Gleichung für y einsetzen, erhalten wir y als Funktion von x:
y(x) = v_0 * sin(alpha) * x / ( v_0 * cos(alpha) ) - 1/2 * 9,81 m / s² * ( x / (v_0 * cos(alpha) )² )
Das können wir noch ein wenig ausmultiplizieren und vereinfachen:
y(x) = sin(alpha) / cos(alpha) * x - 1/2 * 9,81 m / s² / (v_0 * cos(alpha))² * x²
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Jetzt schauen wir uns die beiden Punkte der Kurve an, um die es geht.
Startpunkt: x = 0; y = 0
Endpunkt: x = a; y = -a
Einsetzen in die Kurvengleichung:
y(0) = 0
y(a) = -a
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y(0) = 0 ist sowieso erfüllt - wäre auch seltsam, wenn nicht, haben wir doch dies von Anfang an als Startpunkt gewählt.
Die 2. Gleichung:
-a = y(a) = sin(alpha) / cos(alpha) * a - 1/2 * 9,81 m / s² / (v_0 * cos(alpha))² * a²
Hier stecken noch sinus und cosinus drin - da muss man z. B. den Sinus durch den Cosinus ausdrücken. Dann kann man die Gleichung nach dem Cosinus auflösen.
Als quadratische Gleichung kann diese Gleichung 0, 1 oder 2 Lösungen haben.
Herzlichen Dank, dass du dir Zeit genommen hast! Das Koordinatensystem und die Bezeichnungen sind mir durchaus bekannt und kein Problem. Aber die saubere Aufschlüsselung der einzelnen Schritte und das Aufzeigen, dass es 3 Summanden sind, war sehr Hilfreich für mich. Das würde unser Dozent niemals machen. Ich danke dir wirklich enorm für die gute Ausführung der einzelnen Schritte!
Ach ja: Wir dürfen natürlich nur einen einfachen Rechner einsetzen, den TI-30XIIS. Wie soll ich hier eine Gleichung auflösen? Und in der Bahngleichung habe ich tan(α) und cos(α) im Quadrat. Für jemand, der gerade mal 4 Wochen Physik hatte etwas schwierig. Finde ich zumindest.
Danke für deine rasche Antwort.
Wir haben den schiefen Wurf nie angeschaut. Der Dozent leitet 2 Lektionen lang irgendwelche Formeln her, das letzte Mal war es der waagrechte Wurf und gibt uns aber diese Aufgabe zum Üben. Ich weiss das es sich um eine Parabel handelt, kenne aber nur die Grundformel aus dem Buch . Diese nützt mir aber nichts, da ich den Winkel α suche. Trigonometrie haben wir parallel in der Konvergenz Mathematik, aber erst in einem Monat. Die Aussage des Physik Dozenten war "das ist etwas doof, geht aber nicht anders". Falls du mir da auch nicht weiterhelfen kannst oder willst, werde ich die Sache sein lassen. Habe mit ca. 4h Aufwand glaub ich genug Zeit investiert.
Der Abwurfwinkel ist ja eben nicht bekannt und meine grösstes Problem.