Roulette: Erwartungswert?
Roulette: Die Kugel landet in einem von 37 Fächern, die mit den Zahlen von 0 bis 36 beschriftet sind. Davon sind 18 Fächer rot. Einem Spieler stehen 150€ zur Verfügung und er spielt nach der folgenden Verdopplungsstrategie: Wenn er gewinnt, hört er auf. Wenn er verliert, verdoppelt er seinen Einsatz. Er beginnt mit einem Einsatz von 10€ und setzt immer nur auf rot. Landet die Kugel in einem roten Feld, wird der doppelte Einsatz ausbezahlt. Wie komme ich auf den Erwartungswert für den Gewinn bei dieser Strategie?
2 Antworten
Es geht hier um die geometrische Verteilung. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist bei jedem Durchgang p=18/37. Die Wahrscheinlichkeit für (erstmaligen) Gewinn in Durchgang k (k=1, 2, ....) ist
(1-p)^(k-1) * p
Der Gewinn für diese ganze Spielreihe ist dann (als Vielfaches des Ersteinsatzes)
-1 - 2 - 4 - ...... - 2^(k-1) + 2^(k-1) * 2 = - (2^k -1) + 2^k = 1, unabhängig von k.
Der Erwartungswert des Gewinns ist damit
Summe über alle k= 1, 2, ... von (1-p)^(k-1) * p * 1, und das ist natürlich gleich 1.
Der erwartete Gewinn entspricht also dem Ersteinsatz von 150 Euro.
Danke für den Hinweis, das habe ich übersehen. Die Summe "über alle k" wird damit zur Summe von k= 1 bis 4 von (1-p)^(k-1) * p * 1, und es kommt noch der Fall dazu, dass man gar nicht gewinnt.
Da er immer seinen Einsatz verdoppeln will und mit 10€ anfängt, musst du erstmal ermitteln, wie viele Runden er auf diese Weise maximal spielen könnte (4 Runden natürlich, die Aufstellung der Formel überlasse ich dir).
Danach ist der folgende Satz von elementarer Bedeutung:
Wenn er gewinnt, hört er auf.
Als nächstes kommt es darauf an, wie man Erwartungswert definieren will. Will man dabei nur die Gewinnchance verrechnen und lässt den potentiellen Verlust des Einsatzes außen vor, oder will man diesen auch berücksichtigen (also vom Ergebnis mit abziehen)?
Der einfachste Weg ist es die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass er in keine der vier Runden rot bekommt. In allen anderen Fällen bekommt er 10€ Gewinn.
Und daraus den Erwartungswert ableitet:
Wenn man den Verlust beim E-Wert berücksichtigen will, dann entsprechend:
Alternativ gibt es auch noch die Möglichkeit das durchschnittlich zu erwartende Kapital nach dem Ausflug im Roulette zu berechnen, was für viele vom Chancen Verständnis her vermutlich am einfachsten empfinden:
Das heißt, obwohl du mit 150€ an den Tisch gehst, wirst du ihn bei dieser Strategie durchschnittlich nur noch mit 138,44€ verlassen.
Das ist eine sehr interessante Interpretierung des Erwartungswertes, denn dabei könnte man auf die Idee kommen, man kann beim Roulette nicht verlieren!
Das würde auch stimmen, wenn man unendlich oft verdoppeln könnte, er bringt aber nur 150€ mit an den Tisch.