Rentenrechnung: Berechnung von einem Einmalbetrag?
Hey leider komme ich bei diesen Aufgaben gar nicht voran:/ Vielleicht kann mir ja ein begeisterter Mathematiker den Lösungsweg von dieser Aufgabe erklären?
Hier wären auch die jeweiligen Lösungsmengen gegeben:Bsp1: 133432,78Bsp2: 18876,3
1 Antwort
Hallo,
die ersten 8500 Euro werden 22 mal verzinst, die letzten nur noch einmal.
Gesamtsumme daher 8500*(1,035+1,035^2+...+1,035^22) bzw. mit Summenformel:
8500*(1,035^23-1,035)/0,035.
Einmalige Zahlung: Gesamtsumme geteilt durch 1,035^22.
Was die Aufgabe 2 betrifft: Es gilt, einen Betrag x zu finden, der zu Beginn der Laufzeit einmalig eingezahlt werden muß, so daß er 23 Jahre lang aus dem verzinsten Vermögen jährlich 1500 € ausgezahlt bekommt, bis das Konto leer ist.
Dabei muß bedacht werden, daß das jeweilige Restvermögen weiter verzinst wird.
Nach einem Jahr sieht das so aus:
Du zahlst einen Betrag x ein. Der wird mit 5,75 % verzinst, so daß am Ende des Jahres x*1,0575 € vorhanden sind. Von denen werden 1500 € ausgezahlt.
Der Rest wird wieder ein Jahr lang verzinst und es werden wieder 1500 € ausgezahlt.
Nach 23 Jahren ist das Konto dann leer, denn die Zinsen belaufen sich auf einen Betrag von unter 1500 Euro, so daß immer mehr weggeht als durch Zinsen dazukommt.
Wenn Du für x mal spaßeshalber 10000 € einsetzt, hast Du nach einem Jahr noch 9075 Euro übrig (10000*1,0575-1500), der Kontostand hat sich also um 925 € verringert. Ein Jahr später: Aus den 9075 € sind 9075*1,0575-1500=8096,8125 geworden.
Das ist das Gleiche wie 10000-925-925*1,0575 und das ist interessant, denn hier deutet sich ein Muster an. Nach drei Jahren sind es dann wohl
10000-925-925*1,0575-925*1,0575^2=7062,379219. Das ist exakt die Summe, die Du erhältst, wenn Du den Stand nach zwei Jahren, 8096,8125 mit 1,0575 multiplizierst und 1500 abziehst.
Die 925 kannst Du ausklammern und es bleibt 10000-925*(1+1,0575+1,0575^2).
Der Term in der Klammer ist eine geometrische Reihe, die zu (1,0575^3-1)/0,0575 zusammengefaßt werden kann und von dem spaßeshalber eingesetzten Kapital von 10000 Euro völlig unabhängig ist.
Nach 23 Jahren würde dieser Term (1,0575^23-1)/(0,0575)=45,52754974 ergeben.
Diese Zahl habe ich auf meinem Rechner unter dem Speicher A abgespeichert, deswegen nenne ich sie auch A.
Auf die 925 in dieser Rechnung war ich ja gekommen, indem ich den Rest nach einem Jahr vom Anfangskapital abgezogen hatte, also 10000-(10000*1,0575-1500).
Nun wird es allmählich Zeit, sich von der hochspekulativen 10000 zu verabschieden. Das wäre ja ein schöner Zufall, wenn man einfach durch Raten auf die richtige Lösung gekommen wäre.
Nennen wir sie wie in der Aufgabe x. Dann bleibt natürlich auch die 925 nicht am Leben. Da sie aber vom Anfangskapital abhängig ist, brauchen wir für sie keine zweite Unbekannte, denn die richtige Größe ist entsprechend x-(1,0575x-1500).
Klammern auflösen: x-1,0575x+1500.
Zusammenfassen und Reihenfolge ändern: 1500-0,0575x.
Wir hatten die Hilfsformel 10000-925*(1+1,0575+1,0575^2).
Wenn das bis 1,0575^22 fortgeführt würde, bis zum Ende der 23 Jahre also (die Reihe fängt bei 1,0575^0 an, deshalb sind wir nach 23 Jahren bei hoch 22 angelangt, nicht bei hoch 23), bekommen wir für die geometrische Reihe die Zahl, die wir A genannt haben.
Daher 10000-925*(1,0575^23-1)/0,0575.
Nun die 10000 durch x ersetzt und die 925 durch 1500-0,0575x und den Rest durch A. Ergibt x-(1500-0,0575x)*A, was doch ein recht griffiger Term ist und das Kapital nach 23 Jahren darstellt. Da das Konto dann leer ist, wird das jetzt einfach gleich 0 gesetzt:
x-(1500-0,0575x)*A=0.
Klammer auflösen: x-1500A+0,0575Ax=0.
x ausklammern:
x*(1+0,0575A)-1500A=0.
x=1500A/(1+0,0575A)=18.876,30072 €, gerundet die vorgegebene Lösung.
Bei langen Gleichungen Zwischenwerte abspeichern und durch den Buchstaben des Speicherplatzes ersetzen erspart viel Arbeit und macht alles wesentlich übersichtlicher.
Herzliche Grüße,
Willy