Rang einer Matrix die Polynome als Einträge enthält?
Weiß jemand wie ich den Rang in Abhängigkeit von t bestimmen kann ? Die Determinante kann ziemlich leicht mit der Regel von Sarrus ermittelt werden aber ich weiß nicht wie das mit dem Rang zusammenhängt. Mit dem Gauß-Verfahren müsste man viele Fallunterscheidungen durchführen und würde auch eine sehr unübersichtliche Matrix erhalten, gibt es eine einfachere Möglichkeit ?
1 Antwort
Bringe das auf diagonaler Treppenstufenform, also dass pro Zeile nur in einer Spalte ein (Pivot-)Element steht.
Es sind - beim ersten Blick - nur vier Fälle, die zu unterscheiden sind: t = 1, t = 0, t = -1, übrige.
t = 0 führt direkt zu 1 -1 0 | 0 -1 1 | 0 0 0 --> Rang 2
t = 1 führt zu 2 0 1 | 1 0 2 | 1 0 -1 --> Rang 2
t = -1 führt zu 0 -2 -1 | -1 0 0 | -1 2 1 --> Rang 2
und für die übrigen einfach Gauß, wobei t² - 1 = (t - 1) * (t + 1) und -t³ + t² = -t² (t - 1) damit ist es machbar.
Ja, Danke, habe ich korrigiert.
Es ist aber noch die Frage, ob man ein t findet, wofür der Rang 1 ist bzw. ob das ausgeschlossen werden kann. Das wird man ggf. auch ohne Gauß rausfinden können, nur ich kanns leider nicht.
Ich bin zu faul zum Rechnen und lass das Wolfram alpha machen: eigenvectors ( (t+1,t-1,t), (t,t²-1,t+1), (t,-t³+t²,-t)). Wenn sqrt(4 + 12 t^2 - 3 t^4)=0 fallen die beiden Eigenvektoren zusammen, wenn ich es richtig sehe.
Auch im dritten Fall ist der Rang 2, zähle die erste und dritte Zeile zusammen.
Wolfram alpha rechnet in jedem Fall den Eigenwert 0 aus.