Matrix Determinante R4?

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3 Antworten

Hallo,

noch ein paar Ergänzungen zur Antwort von kreisfoermig:

Die Determinante einer quadratischen Matrix, die größer ist als 3x3, kannst Du nicht einfach nach der Sarrus-Regel berechnen.

Du kannst eine solche Matrix aber in Untermatrizen aufteilen, deren Determinanten dann wieder nach Sarrus bestimmt werden können und deren Unterdeterminanten in der Summe wieder die Determinante der großen Matrix ergeben.

Bei einer 4x4-Matrix wie Deiner ist das noch recht übersichtlich:

Du suchst Dir irgendeine Zeile oder Spalte aus, nach der Du die Matrix 'entwickelst'.

Nehmen wir spaßeshalber mal die dritte Spalte, also die mit den Zahlen 
1 -1 3 3

Diese Spalte wird aus der Matrix gestrichen, so daß von den 16 Zahlen nur noch 12 übrigbleiben.

Nun arbeitest Du Dich von oben nach unten vor:

Du beginnst mit der ersten Zeile und streichst auch diese.

Nun bleibt folgende 3x3-Matrix übrig (die erste Zeile und die dritte Spalte hast Du ja entfernt):

0 -3 2
-4 0 2
4  0 2

Das ist eine 3x3-Matrix, deren Determinante nach Sarrus -48 ergibt.

Jetzt freust Du Dich wahrscheinlich schon und sagst: Das ist ja genau das Ergebnis, das der Rechner ausspuckt und das ich haben wollte.

Aber das ist leider nur ein Zufall - Du bist noch längst nicht fertig.

Du mußt diese Determinante nämlich zunächst mit einer Zahl multiplizieren, und zwar mit der Zahl, die bei der großen Matrix in der ersten Zeile und der dritten Spalte steht (nach der dritten Spalte entwickelst Du ja hier).

Das ist eine 1. Diese 1 mußt Du noch mit (-1)^(r+s) multiplizieren, also mit -1, die als Exponenten die Summe der Zeilen- und Spaltennummer hat, in der die Zahl, mit der Du multiplizierst, steht. Du bist in Reihe 1, Spalte 3.

1+3=4 und (-1)^4=1

Allgemein ist es so: ergeben die Nummern der Reihe und der Spalte, an deren Stelle der Faktor der 3x3-Matrix steht, eine gerade Zahl, kannst Du den Faktor so stehenlassen, wie er ist, ansonsten mußt Du ihn mit (-1) multiplizieren, also sein Vorzeichen ändern.

Nun hast Du immer noch die 1, denn (-1)^4*1=1, die Du mit der -48 mulitplizierst: -48*1=-48

Aber auch dies ist nur Zufall.

Du mußt das gleiche Spiel nun auch mit der zweiten Zeile machen.

Du streichst also zusätzlich zur dritten Spalte (die hast Du Dir am Anfang gewählt und die bleibt), nun die zweite Zeile und erhältst eine neue 3x3-Matrix, deren Determinante dann mit (-1)^(2+3), also mit (-1)*(-1)=1 multipliziert werden muß.

Die erste (-1) besagt nur, daß Du das Vorzeichen der Zahl in der zweiten Zeile und dritten Spalte der großen Matrix diesmal ändern mußt. Da dort eine -1 steht, lautet der Faktor Deiner Unterdeterminante diesmal auch 1 (auch Zufall).

Du bestimmst also wieder die Determinante der neuen 3x3-Matrix nach Sarrus oder wie auch immer und multiplizierst sie anschließend mit 1, läßt sie also, wie sie ist.

4 0 0
-4 3 2
4  3 2

Die Determinante dieser Untermatrix ist 0. 0*1=0, es bleibt also dabei.

Hier hättest Du den zweiten Summanden. Bis jetzt stünde da -48+0

So machst Du weiter:

Du streichst nun zusätzlich zur dritten Spalte die dritte Zeile, siehst, welche Zahl bei der großen Matrix an dieser Stelle steht, um sie als Faktor für die neue Unterdeterminante zu benutzen, stellst fest, daß die Zeilen- und Spaltennummer addiert eine gerade Zahl ergeben (3+3)=6, daß Du also das Vorzeichen des Faktors (hier: 3) unverändert lassen kannst und bestimmst die Matrix, die nach Streichung der dritten Zeile und der dritten Spalte entsteht.

Wenn Du das Spiel durchschaut hast, merkst Du, daß Du die Untermatrizen immer mit einer Zahl multiplizieren mußt, einer der Zahlen, die in der Spalte oder Zeile stehen, nach der Du die große Matrix entwickelst.

Wenn Du da natürlich auf eine Null stößt, kannst Du Dir die Bestimmung der Unterdeterminante sparen, weil Du sie ohnehin mit + oder - 0, also mit 0 multiplizieren müßtest und so als Ergebnis auf jeden Fall 0 heraus bekämst.

Hättest Du für die Entwicklung also die vierte Zeile gewählt, um die Untermatrizen ohne die erste Spalte und vierte Zeile, dann ohne die zweite Spalte und vierte Zeile usw. zu bilden, bräuchtest Du die Untermatrize ohne die zweite Spalte und vierte Zeile gar nicht zu bilden und zu berechnen, weil Du hier in der großen Matrix als Faktor eine Null stehen hast.

Wenn Du nun schlau bist, wählst Du von den jeweils vier möglichen Spalten oder Zeilen natürlich die mit den meisten Nullen aus.

Das ist die zweite Spalte, die gleich drei davon besitzt. Hier mußt Du nur eine einzige Unterdeterminante bilden, nämlich die ohne die zweite Spalte und die zweite Zeile, in allen anderen hast Du eine Null als Faktor.

Bei Zeile 2, Spalte 2 steht eine -3, da 2+2=4, entfällt der Vorzeichenwechsel, denn (-1)^4=1.

Du bildest also nur noch die Untermatrix

4 1 0
-4 3 2
4  3 2

bildest die Unterdeterminante nach Sarrus, bekommst eine 16 heraus, multiplizierst diese mit -3 und bist fertig: -48 (Diesmal ist es wirklich das Endergebnis).

Alle anderen Unterdeterminanten kannst Du Dir in diesem Fall schenken, weil ihre jeweiligen Unterdeterminanten - wie gesagt - ohnehin mit Null multipliziert würden und damit als Summanden nichts verändern würden.

Hast Du mal eine 4x4-Matrix, die keine Nullen aufweist, mußt Du entweder vier Unterdeterminanten bilden, mit dem jeweiligen Faktor nach Prüfung eines eventuellen Vorzeichenwechsels multiplizieren und die vier Ergebnisse addieren, um die Determinante der großen Matrix zu bestimmen oder Du formst zu Beginn die große Matrix so um, daß Du in irgendeiner Zeile oder Spalte eine oder mehrere Nullen bekommst, das spart Arbeit. Allerdings kostet das Umarbeiten auch wieder Arbeit, ist also letztlich Geschmackssache.

Alles Gute,

Willy

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Sarrus gilt nur bei 3x3 Matrizen. Eine Verallgemeinerung von Sarrus ist die Regel von Leibniz, die ist aber kompliziert,

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Du musst hier entweder mittels Gauß'scher Transformationen oder der Formel von Laplace vorgehen.

Laplace

det(A) = - 0·det(A₁₂) + (-3)·det(A₂₂)
- 0·det(A₃₂) + 0·det(A₄₂)
= -3·det(A₂₂),

wobei A_ij = Matrix, die aus der Entfernung von Zeile i und Spalte j resultiert, also

A₂₂ =  4 1 0
-4 3 2
4 3 2

Um die Berechnung oben zu Ende zu machen, muss ich nur noch det(A₂₂) bestimmen. Hier stehen mir jetzt 3 Methoden zur Verfügung. Ich machs mit Gauß weiter (damit du diese Methode etwas näher erfährst):

  Matrix    Zeilenop.      Veränderung?   Det(·)
====================================================
4 1 0
-4 3 2 Z2 ← Z2+Z1 (keine) det(A₂₂)
4 3 2 Z3 ← Z3-Z1 (keine)
====================================================
4 1 0
0 4 2 1·det(A₂₂)
0 2 2 Z3 ← 2·Z2–Z2
=====================================================
4 1 0
0 4 2 2·det(A₂₂)
0 0 2 = 4·4·2
=====================================================

Im letzten Schritt ist die Determinant lediglich gleich dem Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonal. Es folgt aus 2·det(A₂₂) = 4·4·2, dass det(A₂₂)=4·4=16. (Verglichen mit der Methode von Sarrus erhält man dasselbe.)

Also

det(A) = -3·det(A₂₂) = -3·16 = -48                 
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Kommentar von kreisfoermig
09.10.2016, 09:29

In der Tabelle vergass ich in der Spalte „Veränderung“ und in der zweiten „Zeile“ den Text „·2“ zu schreiben.

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