Polynomen, ganz rationale Funktionen?
Hallo,
wir sollen ein Graphenpuzzle bearbeiten, ein ähnliches kommt auch in der nächsten Prüfung vor.
die Frage, die ich mir nun stelle ist, wie sehe ich mit dem bloßen Auge, welche Funktion zu welchem Graphen passt.
hierbei handelt es sich um die Aufgabe 23.
bisher Klappe es mit dem ausschlussverfahren ganz gut, ich komme nun aber nicht mehr weiter.
ich bin so weit gekommen, dass ich weiß welcher Graph negativ also gespiegelt auf der X-Achse ist. Das war’s dann aber auch.
kann mir jemand eine gute Methode für die Zukunft mit geben?
vielen Dank
4 Antworten
Ich denke mal, dass Du die Grade der Funktionen am Graphen erkennst, wenn man davon ausgehen kann, dass alle markanten Punkte im Ausschnitt sichtbar sind (Grad=Anzahl Extremstellen+1=Anzahl Wendestellen+2).
Hier hast Du eine Funktion 2. Grades, eine 4. Grades und vier 3. Grades.
Bei Funktionen gleichen Grades hat man am schnellsten den y-Achsenabschnitt kontrolliert - da braucht man ja nur x=0 einsetzen. Als nächstes würde ich dann das Unendlichkeitsverhalten checken, um somit nach dem führenden Minuszeichen auszusortieren; danach (oder evtl. vorher je nach Schwierigkeit der Terme bzw. Ablesbarkeit) würde ich dann die Nullstellen prüfen (bei F hast du eine doppelte Nullstelle bei x=0, d. h. hier kann man beim Funktionsterm x² ausklammern).
Bei dieser Aufgabe kommst Du auf diese Weise eindeutig an alle Zuordnungen.
Reicht das mal nicht aus, muss man wohl oder übel bei den sehr ähnlichen Kandidaten einzelne, gut ablesbare Punkte kontrollieren, die bei den Graphen verschieden sind, um die zugehörigen Terme bestimmen zu können. Sind aber, wie hier, nicht einmal Einheiten an den Achsen notiert, sollte das in der Regel nicht nötig sein (es sei denn euer Lehrer ist "sehr gehässig" :) ).
Ich würde einfach schauen, was es für Unterschiede zwischen den Graphen gibt und nach dem Ausschlussprinzip vorgehen. Hier also:
- I und II können anhand des y-Achsenabschnitts zugeordnet werden.
- Für III hilft der Globalverlauf.
- IV und V können anhand einer ablesbaren Nullstelle unterschieden werden, die in beide Funktionsterme im Kopf eingesetzt werden kann.
- VI ist die einzige Funktion vierten Grades.
Achte auch auf die Symmetrie der Graphen. So ist z.B. nur der Graph C achsensymmetrisch zur y-Achse und kann deshalb nur zur Funktion VI gehören, weil nur dort Terme mit geraden Exponenten (×^4 und x^2) zu finden sind. Bei Punktsymmetrie durch den Ursprung (0/0) kommen nur Funktionen mit ungeraden Exponenten in Frage. Hier also die Funktionen III und V (x^3 und x, also x^1). Punktsymmetrisch sind die Graphen B und E. Bei B steigt der Graph zu Beginn und deshalb muss der Term mit x^3 positiv sein, also passend zu Funktion III und demzufolge passt der zu Beginn fallende Graph E auch zu Funktion V.
Auch D und F sind typische Graphen von Funktionen 3. Grades, also mit x^3 als höchstem Exponenten. Achte auch hier darauf, ob der Graph zu Beginn steigt (x^3 also positiv ist -> D zu II) oder ob er zu Beginn fällt (x^3 also negativ ist -> F zu IV).
Dass eine Parabel wie bei Graph A immer eine Funktion 2. Grades benötigt, sollte klar sein. Deshalb kann es nur Funktion I sein. Falls du mal zwei odere mehrere Parabeln zuordnen musst, achte darauf ob sie nach unten geöffnet ist (x^2 mit negativem Vorzeichen wie hier bei A) oder nach oben (x^2 mit positivem Vorzeichen). Wichtig auch der Schnittpunkt mit der y-Achse. Bei Funktion I schneidet der Graph die y-Achse bei -2, also unterhalb der x-Achse. Wäre es +2 würde der Graph die y-Achse bei +2 schneiden.
Wenn du eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform bringst, kannst du dann auch die Verschiebung der Parabel nach links oder rechts sehen. Wenn vor dem Term mit x ein Minus steht, verschiebt sich die Parabel nach rechts und mit einem Plus davor nach links. Aber Achtung bei Funktionen wie hier die I. Für die Scheitelpunktform musst du hier die (-1/2) ausklammern und erhälst dann (-1/2) * (x^2 - 5x) -2 mit einem negativen Vorzeichen bei 5x und deshalb einer Verschiebung nach rechts, wie bei Graph A zu sehen.
Das einfachste ist wohl, dass du dir erstmal die generellen Funktionen anschaust und sie dann nach und nach veränderst.
Bei der Parabel ist das ja z.b. (glaub ich) a(x-+b)-+c .Jetzt gibst du in geogebra für a,b,c verschiedene Werte ein und schaust was passiert.
Alternativ kannst du das natürlich auch auswendig lernen. Du musst "einfach" wissen welche Variable was bewirkt.