Physik Drehimpuls?
Hallo, ich studier Physik im 1. Semester und bin zu blöd für die Aufgabe, kann mir jemand helfen?
Ein Teilchen der Masse m ist mit einem masselosen Faden verbun- den, der durch ein Loch in der Tischplatte geführt wird. Wenn der Faden von der Hand unter dem Tisch festgehalten wird, läuft das Teil- chen auf einer Bahn mit dem Radius r1 und Geschwindigkeit v1. Wird die Hand abgesenkt, ändert sich die Bahn zu r2 und v2.
a. Wie hängt die Endgeschwindigkeit v2 des Teilchens von r2 ab?
b. Welche Arbeit W muss aufgebracht werden, um das Teilchen von der Bahn mit r1, v1 auf eine
Bahn mit r2, v2 zu ziehen? Berechnen Sie dazu das entsprechende Wegintegral.
c. Wie unterscheiden sich die kinetischen Energien der beiden Bahnen? Vergleichen Sie das Er- gebnis mit der in Teil b. berechneten Arbeit W .
2 Antworten
Lösung
a. Endgeschwindigkeit v2
Die Endgeschwindigkeit v2 des Teilchens hängt von der Zentripetalkraft ab, die auf das Teilchen wirkt. Diese Kraft wird durch die Spannung des Fadens bereitgestellt.
Die Zentripetalkraft ist gegeben durch:
F_z = m * v^2 / r
wobei
- m die Masse des Teilchens in kg ist
- v die Geschwindigkeit des Teilchens in m/s ist
- r der Radius der Kreisbahn in m ist
Wenn die Hand abgesenkt wird, verringert sich der Radius r. Um die Zentripetalkraft konstant zu halten, muss die Geschwindigkeit v des Teilchens zunehmen.
Die Beziehung zwischen v2 und r2 kann also durch folgende Gleichung ausgedrückt werden:
v_2^2 = v_1^2 * r_1^2 / r_2^2
b. Arbeit W
Die Arbeit W, die erforderlich ist, um das Teilchen von der Bahn mit r1, v1 auf eine Bahn mit r2, v2 zu ziehen, kann durch das folgende Wegintegral berechnet werden:
W = \int_a^b F_z \cdot dx
wobei
- F_z die Zentripetalkraft in N ist
- dx der infinitesimale Wegelement in m ist
- a und b die Anfangs- und Endpunkte des Weges sind
Die Zentripetalkraft ist gegeben durch:
F_z = m * v^2 / r
Das Wegintegral kann also wie folgt umgeschrieben werden:
W = \int_a^b m * v^2 / r \cdot dx
Wenn wir die Geschwindigkeit v als Funktion des Radius r annehmen, können wir das Wegintegral integrieren:
W = \int_a^b m * v_2^2 / r_2 \cdot dx
W = m * v_2^2 \ln(r_2)
c. Unterschied der kinetischen Energien
Die kinetische Energie des Teilchens auf der ersten Bahn ist gegeben durch:
E_k1 = \frac{1}{2} m v_1^2
Die kinetische Energie des Teilchens auf der zweiten Bahn ist gegeben durch:
E_k2 = \frac{1}{2} m v_2^2
Der Unterschied der kinetischen Energien ist also:
E_k2 - E_k1 = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)
E_k2 - E_k1 = \frac{1}{2} m v_1^2 (r_1^2 - r_2^2) / r_2^2
E_k2 - E_k1 = \frac{1}{2} m v_1^2 r_1^2 / r_2^2
Dieser Ausdruck ist gleich der Arbeit W, die erforderlich ist, um das Teilchen von der Bahn mit r1, v1 auf eine Bahn mit r2, v2 zu ziehen.
Zusammenfassung
Die Endgeschwindigkeit v2 des Teilchens hängt von der Beziehung zwischen dem Radius r2 und dem Radius r1 der Kreisbahn ab.
Die Arbeit W, die erforderlich ist, um das Teilchen von einer Bahn auf eine andere zu ziehen, ist proportional zur kinetischen Energie des Teilchens auf der ersten Bahn.
Ja, so war das vor 36 Jahren im ersten Semester in Physik :-) Die sind soooo gemein. Aber es gilt halt Energieerhaltung und Drehimpulserhaltung. Und dann viel Erfolg beim Rechnen!