Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt Felix als letzter?
Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären?:
Bei Annas Geburtstag sind Barbara, Christian, Dennis, Elisa und Felix eingeladen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt Felix als Letzter?
Die Lösung ist 1/5. ABER warum?
1/5 sagt nur aus dass Felix zuerst kommt (wenn man Baumdiagram vorstellt).
Vor ihm sollen aber B,C,D,E eintreffen und die Reihenfolge mit der sie eintreffen können auch verschieden sein. Es Kann B als zweiter kommen oder als dritter oder D als erster usw.. Das sollte man doch auch berücksichtigen?
Zuerst habe ich gedacht die Wahrscheinlichkeit dass Felix nicht zuerst kommt bei 4/5 liegt und das hoch 4 bzw. 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5 1/5 , weil Felix ja als Letzter kommen soll. Wobei 4/5 hoch 4 auch falsch ist weil man auch berücksichtigt dass nicht die gleiche Person vier mal kommt (ziehen ohne zurücklegen).
Bitte um Hilfe.
5 Antworten
Einleitung und etwas Motivation: Deine Frage ist absolut sinnvoll, auch wenn sie eine recht kurze (das heisst nicht "einfache"!) Antwort besitzt. Je nach dem, wie einem die Begriffe beigebracht werden, kann ein wirklich unklares Bild entstehen: Manchmal benutzt man ein Baumdiagramm, manchmal hat man Formeln mit Binomialkoeffizienten, manchmal geht's ueber ein Urnenmodell oder eine Vierfeldertafel etc... Es fallen die Begriffe "Wahrscheinlichkeit", "Verteilung", "Zufallsvariable"...
Es kann gut passieren, dass man keine wirkliche Verbindung mehr sieht bzw. das zugrundeliegende Konzept nicht versteht. Man fragt sich dann oft "Muss ich hier nicht ...?" und ist sich bei seinen Loesungen unsicher.
Eine ausreichende Erklaerung von Grund auf kann ich hier nicht geben - sowas geht eigentlich nur im persoenlichen Gespraech mit einem wirklich guten Lehrer. Fuer den Fall, dass Du Lust hast, Dich ein bisschen einzulesen, versuche ich nun einmal einen Anfang zu machen (am Beispiel Deiner Aufgabe - viel Text und wenig Rechnung, es geht mir darum, Dir eine sehr elementare Sichtweise aufzuzeigen):
Der Grundraum: Um ein Zufallsexperiment zu beschreiben, fragt man sich fuer gewoehnlich zuerst nach dem Grundraum (manchmal auch Stichprobenraum oder Ergebnismenge genannt). Das ist die Menge aller moeglichen Ausgaenge des Experiments. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass es nur endlich viele moegliche Ausgaenge gibt - das ist bei Schulaufgaben meistens der Fall.
In Deinem Fall wollen wir beschreiben, dass fuenf Leute nacheinander klingeln. Wir bezeichnen die Gaeste nach ihren Anfangsbuchstaben; ein moeglicher Ausgang waere (B, C, D, E, F), d.h. zuerst klingelt Barbara, dann Christian, dann Dennis, dann Elisa und zum Schluss Felix. Alle diese Ereignisse zusammen bilden den Grundraum, den man oft mit dem Buchstaben Ω abkuerzt. Also waere Ω = {(B, C, D, E, F), (B, C, D, F, E), (B, C, F, E, D), ...}. Die Menge Ω enthaelt also in diesem Falle recht viele Elemente.
Ereignisse: Als Ereignis bezeichnet man eine Teilmenge von Ω. Diesen Begriff versteht man am besten durch ein Beispiel: Das Ereignis U = "Barbara klingelt vor Christian, Christian vor Dennis und Dennis vor Elisa." waere als Menge notiert U = {(B, C, D, E, F), (B, C, D, F, E), (B, C, F, D, E), (B, F, C, D, E), (F, B, C, D, E)}. Das Ereignis U enthaelt also schlichtweg alle moeglichen Ausgaenge, die zum Eintreten von U fuehren.
Das Ereignis V = "Felix klingelt als Letzter." enthaelt alle Ausgaenge, bei denen F an fuenfter Stelle steht. Das sind recht viele, daher liste ich die Menge hier nicht auf:)
Auch die Menge Ω selbst ist ein Ereignis, naemlich Ω = "Die fuenf Gaeste klingeln in irgendeiner Reihenfolge.", weil ja einfach alle moeglichen Ausgaenge in Ω enthalten sind.
Ereignisse, die nur einen moeglichen Ausgang des Experiments enthalten, nennt man auch Elementarereignisse (kurz EEs). Ein Beispiel dafuer waere {(B, C, D, E, F)} = "Barbara, Christian, Dennis, Elisa und Felix klingeln in dieser Reihenfolge.".
Die Wahrscheinlichkeit: Nun muss man festlegen, welche Ereignisse welche Wahrscheinlichkeit besitzen. Festlegen? Richtig gelesen! Es gibt keine Moeglichkeit, eine "richtige" Wahrscheinlichkeit auf mathematischen Wege herzuleiten. Das klingt zunaechst untypisch fuer die Mathematik, aber wird nach kurzem Ueberlegen doch klarer: Wie soll man ausrechnen koennen, dass alle Klingel-Reihenfolgen z.B. gleich wahrscheinlich sind? Es koennte ja sein, dass Felix oft spaet dran ist etc. Die Mathematik kann die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse nicht "kennen".
Die Vorgehensweise ist also Folgende ("EE" steht fuer "Elementarereignis", siehe oben fuer die Erklaerung des Begriffs):
- Lege fuer jedes EE die Wahrscheinlichkeit "sinnvoll" (d.h. entsprechend des modellierten Experiments) fest. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Die einzige Regel ist, dass die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten 1 sein muss. Man koennte schreiben P(EE 1) + P(EE 2) + ... + P(letztes EE) = 1.
- Fuer alle anderen Ereignisse U soll nun gelten: P(U) = Summe der Wahrscheinlichkeiten aller in P enthaltenen EEs.
Okay, illustrieren wir dies anhand Deines Beispiels: Ω enthaelt 5*4*3*2*1 = 120 EEs. Wir wollen, dass jedes EE gleich wahrscheinlich ist. Daher muessen wir in diesem Fall jedem EE die Wahrscheinlichkeit 1/120 geben, denn sonst waere die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten nicht 1. Nach der zweiten Regel gilt fuer das Ereignis U von oben: P(U) = P((B, C, D, E, F)) + P((B, C, D, F, E)) + P((B, C, F, D, E)) + P((B, F, C, D, E)) + P((F, B, C, D, E)) = 1/120 + 1/120 + 1/120 + 1/120 + 1/120 = 5/120.
Du erkennst darin vielleicht die bekannte Regel "Anzahl der guenstigen EEs (hier 5) geteilt durch Anzahl aller moeglichen EEs (hier 120)" wieder? Du kannst aber auch sehen, dass diese Regel nur dann stimmt, wenn wirklich alle EEs dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.
Ebenso siehst Du, dass P(Ω) = 1 gilt - das ist intuitiv richtig und auch eine direkte Konsequenz der ersten Regel. In Worten bedeutet das ja einfach "irgendwas passiert auf jeden Fall".
Baumdiagramme & Co.: Du fragst Dich jetzt vielleicht, warum man Wahrscheinlichkeiten manchmal auf andere Weise berechnen kann als durch die zweite Regel von oben. Wir haben ja nur Einzelwahrscheinlichkeiten addiert. Beim Baumdiagramm zum Beispiel werden aber Wahrscheinlichkeiten multipliziert!?
Nun, das ist so ein Punkt, den Dir am besten persoenlich jemand im Detail erklaert. Nur so viel: Man macht unterm Strich genau dasselbe - die Pfadregel am Baumdiagramm ist eine Konsequenz der zweiten Regel von oben, auch wenn man das nicht so direkt sieht.
Deine Aufgabe: Um P(V) fuer Dein Ereignis V (siehe oben) zu berechnen, musst Du zaehlen, wie viele EEs in V enthalten sind. Hierin besteht die eigentliche Aufgabe - wie viele EEs enden mit einem F? Nun, wenn F zuletzt klingelt, dann muessen die anderen vier Leute sich auf die ersten vier Plaetze verteilen. Dafuer gibt es 4*3*2*1=24 Moeglichkeiten. Also enden 24 EEs mit einem F.
Wuerdest Du also die Wahrscheinlichkeiten aller EEs mit einem F an letzter Stelle zusammenzaehlen, wuerdest Du 1/120 + 1/120 + ... + 1/120 = 24/120 rechnen. Das geschickte Zaehlen mit der Anzahl der Moeglichkeiten erspart Dir aber dieses muehsame Vorgehen. Es gilt also P(V) = 24/120 = 1/5 = 20%.
Eine Abkuerzung?: In der Antwort von @hydrahydra habe ich gelesen: "Nö... Es gibt genau fünf Ereignisse, die man berücksichtigen muss." Was hat es damit auf sich? Nun ja, wenn Du Dich nur fuer denjenigen interessierst, der zuletzt klingelt, koenntest Du zur Beschreibung des Zufallsexperiments von Anfang an einen anderen Grundraum waehlen! Wie waer's mit Ω = {B, C, D, E, F}? Dann gaebe es nur die fuenf moeglichen Ausgaenge B, C, D, E oder F - je nach dem, wer als Letzte/r klingelt.
Nun kommt aber die Krux: Das kannst Du schon machen, aber im naechsten Schritt musst Du wieder die Wahrscheinlichkeiten fuer die Elementarereignisse festlegen! Wie wahrscheinlich ist es nun, dass B (oder C, oder D, oder E, oder F) zuletzt klingelt? Im ersten Beispiel oben war es sehr intuitiv, dass jede Reihenfolge dieselbe Wahrscheinlichkeit haben sollte. Wenn ich Dich richtig verstanden habe, ist es fuer Dich aber nicht so intuitiv, dass bei dieser abgekuerzten Sichtweise auch alle fuenf EEs dieselbe Wahrscheinlichkeit haben sollten, oder?
Ich wuerde sagen: Um zu dieser abkuerzenden Sichtweise zu kommen, muss man die Loesung der Aufgabe schon kennen - schliesslich muss man schon erkannt haben, dass es fuer alle fuenf gleich wahrscheinlich ist, als Letzte/r zu klingeln. Sonst koennte man die Wahrscheinlichkeiten der EEs nicht festlegen...
Es handelt sich meiner Meinung nach also nicht wirklich um eine Abkuerzung. Der grosse Grundraum mit allen moeglichen Reihenfolgen modelliert das Zufallsexperiment so wie es auch durchgefuehrt wird und ist daher naheliegender.
Zusammenfassung: Um ein Zufallsexperiment zu beschreiben, muss man sich zuerst ueberlegen, was die moeglichen Ausgaenge (=EEs) sind. Danach muss man die Wahrscheinlichkeiten aller EEs festlegen. Oftmals ist es sinnvoll, fuer alle EEs dieselbe Wahrscheinlichkeit anzunehmen. In diesem Fall ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch die Formel "Anzahl aller guenstigen Ausgaenge / Anzahl aller moeglichen Ausgaenge". Viele Techniken der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind im Endeffekt eine geschickte Art, solche Anzahlen zu bestimmen; diese Techniken sind vor allem dann notwendig, wenn der Grundraum sehr viele EEs enthaelt.
"Es Kann B als zweiter kommen oder als dritter oder D als erster usw.. Das sollte man doch auch berücksichtigen?" --- Nö... Es gibt genau fünf Ereignisse, die man berücksichtigen muss: A kommt als letzter, B, C, D, oder E... Wer davor in welcher Reihenfolge kommt, ist für das fragliche Ereignis egal, es ist nur relevant, dass sie alle vor Felix ankommen.
Ja, aber diese Möglichkeiten sind eben total irrelevant, denn es interessiert ja nur, wer als letzter klingelt! Und nicht, in welcher Reihenfolge alle davor geklingelt haben.
Wenn du alle möglichen Reihenfolgen auflistest, in der die Leute ankommen können, wird es für jeden einzelnen exakt gleich viele Varianten geben, zuletzt anzukommen.
Du hast fünf Personen und die Wahrscheinlichkeit ist so bei jedem 1 / 5, dass diese zuletzt ankommt.
Für das Ereignis „Felix kommt als Letzter an” ist es egal, was vorher passiert, solange Felix der Letzte ist.
Es gibt doch 5 Personen die kommen. Dann ist doch die Chance für Felix, aber auch für jede andere Person, 1/5 dass er/sie als letzter/ letzte kommt oder habe ich einen Denkfehler?
das mit 1/5 ist doch die Wahrscheinlichkeit wer zuerst an der Tür klingelt. Die Tür soll aber 5 Mal geklingelt werden. Wer aber zuerst an der Tür klingelt oder als zweiter oder als dritter..... da gibt es doch verschiedene Möglichkeiten. Nur Felix soll als letzter klingeln. Z.b erste Möglichkeit der Reihenfolge: Barbara, Christian, Dennis, Elisa, Felix oder die zweite Möglichkeit: Dennis, Elisa, Barbara, Christian, Felix. Es gibt viele Möglichkeiten und am Ende soll der Felix sein. Sollte man nicht alle diese Möglichkeiten addieren?
Man kann das bestimmt auch mit der Pfad- und Summenregel ausrechnen, aber man erkennt doch direkt das die Wahrscheinlichkeit 1/5 betragen muss, da die Wahrscheinlichkeit das irgendjemand als letztes kommt 100% bzw. 1 betragen muss. Da es 5 Personen sind, die kommen, ist die Rechnung 1/5.
Hallo,
wenn Du den einfachen Lösungen nicht traust, teilst Du die Zahl der erwünschten Ergebnisse durch die Zahl der möglichen.
Es gibt 5!=120 Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge 5 Personen an einer Tür klingeln können.
Wenn Felix der Letzte sein soll, haben die vier anderen 4!=24 Möglchkeiten, zu klingeln.
24/120=1/5
Einfacher ist es aber, sich klarzumachen, daß nur einer von 5 Personen der Letzte sein kann; Wahrscheinlichkeit daher 1/5.
Herzliche Grüße,
Willy
das mit 1/5 ist doch die Wahrscheinlichkeit wer zuerst an der Tür klingelt. Die Tür soll aber 5 Mal geklingelt werden. Wer aber zuerst an der Tür klingelt oder als zweiter oder als dritter..... da gibt es doch verschiedene Möglichkeiten. Nur Felix soll als letzter klingeln. Z.b erste Möglichkeit der Reihenfolge: Barbara, Christian, Dennis, Elisa, Felix oder die zweite Möglichkeit: Dennis, Elisa, Barbara, Christian, Felix. Es gibt viele Möglichkeiten und am Ende soll der Felix sein. Sollte man nicht alle diese Möglichkeiten addieren?