Matrix-Multiplikation: gibt es A B = E mit B A =/= E?

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4 Antworten

Die Kommutativität gilt für reguläre Matrizen, um die es sich hier handelt.

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Kommentar von Australia23
06.08.2016, 14:43

Merci! Kennst du auch eine Herleitung für diese Regel?

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Sei AB = E, dann ist
BA = E • BA = (A^-1 • A)• B • A
= A^-1 • (A • B) • A = A^-1 • A = E

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Kommentar von iokii
06.08.2016, 15:47

Das ist falsch, weil du davon ausgehst, dass A^-1 existiert.

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Kommentar von Australia23
06.08.2016, 15:48

Vielen Dank für die Herleitung!

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Kommentar von lks72
06.08.2016, 22:19

Ich hab mich irgendwie verlesen, da ja A • B = E , ist B das Rechtsinverse zu A. Ich bin daher von einer regulären Matrix ausgegangen. Aber iokii hat Recht: Wenn man die Aufgabenstellung ernst nimmt, dann heißt die Aufgabe: Ist eine rechtsinveese Matrix auch links invers. Die Antwort darauf ist glaube ich im Allgemeinen nein, finde aber jetzt auf die Schnelle kein Gegenbeispiel. Besteht die Matrix aus reellen Zahlen und hast du die normalen Rechenregeln, wirst du wegen der Kommuzstivität der reellen Multiplikation und Addition auch kein Gegenbeispiel finden.

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Kommentar von lks72
07.08.2016, 11:45

nein, ich habe gezeigt, dass, wenn ein komplett Inverses existiert, dass dann A • A^-1 = A^-1 • A ist. Die Voraussetzung in der Aufgabe ist aber lediglich , dass ein Rechtsinverses existiert, das heißt dann nicht unbedingt , dass die Gleichung dann gilt, denn in meiner Herleitung habe ich die Existenz eines Linksinversen vorausgesetzt. Bei Matrizen über reellen Körpern ist das auch so, wohl aber nicht allgemein

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Nein gibt's nicht.

Wenn A B = E ist, dann ist B die inverse Matrix zu A. Und dann gilt auch BA = E

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Kommentar von Australia23
06.08.2016, 13:51

Super, merci!

Kennst du vielleicht auch noch einen "Beweis" dazu? Also einfach eine Herleitung dafür, dass es immer gelten muss.

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Der Beweis ist relativ simple:

A*B = E bedeutet, dass B die Inverse Matrix von A ist.

->

!A^-1=B!

A*(A)^-1 = E

B*A = E bedeutet, dass A die Inverse von B sein muss.

Es gilt unter anderem:

(A^-1)^-1 = A

->

B*A = E => B*B^-1 = B*(A^-1)^-1 = B*A = E


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