Mathematik. Wahrscheinlichkeit
Hallo, ich habe gerade im Internet 2 Aufgaben gefunden und da wir gerade so etwas in der Schule machen, würde ich mich freuen, wenn ihr mir Tipps oder so geben könntet, damit ich weiß wie ich das ausrechnen muss.
Hier die Aufgaben:
1 ) Ist das Ergebnis "Man würfelt bei sieben Würfen eines Spielwürfels mindestens einmal die Augenzahl 6" ein sicheres Erbenis?
2 ) Ein CD-Player besteht aus vier Baugruppen. Bei der Qualitätskontrolle wird geprüft, ob die Baugruppen in Ordnung sind. Der Prüfautomat gibt als Ergebnis eine Prüfplakette aus, auf der z.B. steht: 1101, das heißt, die Baugruppen 1,2 und 4 sind in Ordnung, Baugruppe 3 ist defekt. Eine Baugruppe ist defekt mit der Wahrscheinlichkeit 5*10^-3.
a) Wie viele Ergebnisse sind möglich?
b) Beschreibe das Ergebnis E = {1000,0100,0010,0001} in Worten und gib seine Wahrscheinlichkeiten an.
c) Beschreibe das Ergebnis F = {1111} in Worten und gib seine Wahrscheinlichkeit an.
d) Schreibe das Ergebnis G: "Höchstens ein Bauteil ist defekt" als Menge auf und bestimme seine Wahrscheinlichkeit.
Danke schon mal im Voraus! :)
2 Antworten
zu 1) Bei etwas genauerer Betrachtung, sieht man, dass es sich hier um ein - umgangssprachlich formuliert- "ENTWEDER - ODER" Experiment handelt. D.h., entweder kommt eine Sechs oder keine. Stellt man ein Baumdiagramm auf, so sieht man vielleicht einen Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz. Man erhält anschließend die Formel P(X=k)= sum(ncr(n,k)p^k(1-p)^(n-k)) . Da 7 Würfe zu betrachten sind, muss man n=7 setzen. Da „mindestens“ gefragt ist, muss man k von 1 bis 7 laufen lassen. Schneller rechnet man dies jedoch aus, in dem die Frage umformuliert zu: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 7 Würfen nie kein Sechser gewürfelt wird?“. Damit ist klar, dass P(X>=1) = 1- (ncr(7,0)*(1/6)^0*(1-1/6)^(7-0)) lauten muss (vgl. Gegenwahrscheinlichkeit).
Ncr steht für „Binomialkoeffizient“. Auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner findet man diese Funktion. Rechnet man nun aus, so kommt man auf P(X>=1) = 1-(0,279082) = 0,720918. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit nach 7 Würfen mind. eine Sechs zu würfeln, „lediglich“ 72%, was jedoch von 100% verschieden ist.
Anmerkung: Selbst nach 10^9 Würfen hat man „nur“ mit etwa 99,9999999999 %iger Wahrscheinlichkeit einen Sechser zu erwarten, was jedoch wieder nicht völlig garantiert werden kann. Man müsste schon „auf die Unendlichkeit warten“, d.h. unendlich oft würfeln, um 100%ig einen Sechser zu würfeln.
Zu 2) a) Man hat hier einfach nur alle möglichen Qualitätskontrollresultate durch Mengenschreibweise anzugeben. Das Durchüberlegen aller Ausgänge ist hier ausreichend. Man überlegt sich leicht, dass die Ausgangsmenge wie folgt lautet:
A = {0000,0001,0010,0100,1000,1100,1010,1110,0011,0101,1101,0110,0111,1011,1111,1001}
(Probiere selbst noch einmal durch, es könnte sein, dass ich aus Versehen eine Möglichkeit außer Acht gelassen habe).
Dabei sieht man durch einfaches Zählen, dass ihre Mächtigkeit 16 lautet, d.h. so viele Ergebnisse sind möglich.
Zu b) Umformulierung der Fragestellung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei vier (voneinander unabhängig laufenden) Qualitätskontrollen jeweils GENAU eine Baugruppe in Ordnung ist? Es ist sinnvoll hier einmal zu schätzen. Die Chance auf GENAU EIN solches Ereignis ist sicher sehr klein, wenn man die Voraussetzung, p_defekt = 5/1000 beachtet, denn, diese besagt, dass der bei weitem überwiegende Teil der Baugruppen in Ordnung sind.
Es handelt sich hier ebenfalls um eine Binomialverteilung. Dabei ist das n= 4 und k = 1. Damit beträgt P(X=k=1) = ncr(4,1)*(1-5/1000)^1*(5/1000)^3 = 4,975*10^(-7), also etwa 5 zu 10 Millionen.
Zu c) Beschreibung des Ergebnisses F in Worten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Qualitätskontrolle alle 4 Baugruppen in Ordnung sind. Erwartungsgemäß beträgt diese Wahrscheinlichkeit etwas über 90%. Man braucht wieder nur in die Biomialformel einzusetzen: P(X=k=4) = ncr(4,4) * (1-5/1000)^(4)*(5/1000)^(4-4) = 0,98015. Damit beträgt dies diesbezügliche Wahrscheinlichkeit etwa 98%.
d) Umformulierung der Fragestellung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner ODER ein Bauteil bei einer Qualitätsuntersuchung defekt ist? Man braucht hier k nur von 0 bis 1 gehen lassen.:
P(X
weiter bei d):
Die Menge G liegt auf der Hand:
G= {0111, 1011,1101,1110}. Alle Möglichkeiten durchgehen!
1. nein ist es nicht
2. versteh ich nciht^^
P(X(5/1000)^1 *( 1-5/1000)^3 )= 0,999851. Also mit mehr als 99,98%iger Wahrscheinlichkeit ist maximal ein Bauteil von schlechter Natur.
Bei Unklarheiten oder eventuell auftretenden Fehlern meinerseits, bitte melden!