mathe vermehrung von bakterien
Hallo :) Ich komm bei folgender Aufgabe nicht wirklich weiter.. Wäre froh um einen Lösungsweg (die Lösung ist 22 Tage)
Eine Bakterienart vermehrt sich in der Weise, dass am ersten Tag aus einem Bakterium 2 werden, am nächsten Tag aus 2 4 usw. Nach 24 Tagen ist der Behälter voll. Hätte man statt einem vier Bakterien angesiedelt, wann wäre das Gefäss voll geworden?
4 Antworten
Die Größe des Gefäßes ist völlig unerheblich. Ihr sollt nur Potenzregeln üben. Das wird durch die Wahl einer Exponentialfunktion verschleiert.
Bei y = c * a^t ist Anfangswert 1 und a = 2 (Verdoppelung) die Anzahl der Tage gegeben. Damit ist
y = 1 * 2^24 = 2^24
Ist dieser Anfangswert nun 4, dann ist y immer noch 2^24. Die Gleichung ändert sich aber wegen Anfangswert = 4 in
4 * 2^x = 2^24 Dabei ist 4 = 2²
2² * 2^x = 2^24 Gleiche Basen, also Potenzgesetz
2 + x = 24
x = 22
Es ist das erste:
a^b * a^c = a^(b+c)
Im Grunde logarithmierst du auf beiden Seiten, und das ist für Rechenprozesse zulässig. Aber auch von der Aussage her ist es unmittelbar einzusehen.
Die Funktion dazu ist "fa(d) = a*2^d" für d als Anzahl der Tage und a als Anzahl der Bakterien am Anfang.
Wenn mit einem Bakterium das Gefäß nach 24 Tagen voll ist, fasst das Gefäß f1(24) = 1*2^24 = 16777216 Bakterien.
Mit 4 Startbakterien kannst du dir nun überlegen, dass 4 = 2^2 ergibt; somit 2 Tage übersprungen werden. Du brauchst mit 4 Startbakterien also 22 Tage.
Der Rechenweg dazu:
4*2^d = 16777216 | :4 2^d = 4194304 | log[2] ln(4194304)/ln(2) = 22 bzw. log[2](4194304) = 22
Danke für die Antwort :)! Nun sollte ich das ganze ohne Taschenrechner ausrechnen können..
Ein Ansatz ganz ohne Taschenrechner:
Wenn sich die Zahl der Bakterien täglich verdoppelt und beginnend mit einem Bakterium das Gefäß nach 24 Tagen voll ist, dann war es nach 23 Tagen halbvoll und nach 22 Tagen zu einem Viertel gefüllt
Bei vier Bakterien ist das Gefäß voll, wenn sich jedes Bakterium so stark vermehrt hat, dass es ein Viertel des Gefäßes füllt. Und das ist nach 22 Tagen der Fall.
Das ist doch exponentielles Wachstum oder?
Vielen Dank :))!! Dieses Potenzgesetz kannte ich gar nicht :/