Frage von HalloXY, 11

Mathe Sachaufgabe Problem Wahrscheinlichkeiten?

Folgende Aufgabe sollen wir lösen:

Stellen Sie Sich ein Komposterdesieb vor, in dem Drähte senkrecht aufeinander gespannt sind. Sie bilden ein Kästchenmuster (vgl. Kariertes Papier). Forscher haben Ameisen auf diese Drähte gesetzt, um ihr Verhalten herauszufinden und haben folgendes herausgefunden: 1. Alle Ameisen verhalten sich gleich. 2. Eine Ameise läuft in 1 Sekunde genau eine ''Kästchenlänge'' ab. 3. Ameisen kommen nie an eine Kreuzung und gehen denselben Weg zurück, von dem sie gekommen sind, d.h. kehren nie um.

  1. Die Ameisen entscheiden sich an jeder ''Kreuzung'' neu, ob sie nach links, rechts oder geradeaus weiterlaufen.
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ameise geradeaus läuft, beträgt 1:5 .
  3. Die Ameisen gehen mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links wie nach rechts.

Aufgabe: Berechnen Sie anhand der oben getroffenen Aussagen folgende Wahrscheinlichkeiten: a) Die Ameise geht dreimal geradeaus. b) Die Ameise läuft in genau 6 Sekunden ein Rechteck ab (und kehrt dabei zum Startpunkt zurück).

Ich habe es so gelöst: P links = P rechts = 2:5, da P geradeaus 1:5 a) (1:5)^3 = 1: 125 = 0,8% b) Die Ameise muss sich, wenn sie 6s unterwegs ist, 5-mal entscheiden was sie macht. Sie kann 3^5 = 243 verschiedene Routen in 6s laufen. Sie hat 12 Möglichkeiten (probieren!), ein Rechteck in 6s zu laufen. => P = 12: 243 bzw. 4: 81 = 4,9 %.

Stimmt das???

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 8

a) stimmt
b) Ich gehe mal davon aus, dass von der Richtung, in die die Ameise steht,
gewertet wird: Also quasi beginnend mit einem 0. Schritt, nach dem die Ameise dann entscheidet, ob sie nach links, rechts oder geradeaus weiter läuft...:

je nachdem, in welche Richtung die Ameise zuerst läuft (1. Schritt) und wie der nächste Schritt ist, muss sie 4mal links und 2mal geradeaus; 4mal rechts und 2 mal geradeaus; 3mal geradeaus und 3mal links oder 3mal geradeaus und 3mal rechts laufen. Das sind mehr als 12 Möglichkeiten. Auch kannst Du nicht die möglichen Möglichkeiten ein Rechteck zu laufen einfach durch die Gesamtzahl aller Möglichkeiten teilen, da nicht alle Möglichkeiten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben!

(nach meiner Interpretation wären es dann auch 3^6 Möglichkeiten; nach 0s muss die Ameise zum ersten mal zwischen 3 Wegen entscheiden, nach 5s zum 6. Mal)

Kommentar von HalloXY ,

Okay das mit 3^6 statt 3^5 sehe ich ein und dass nicht alle wege die gleichen wahrscheinlichkeiten haben auch, aber wie soll man das dann berechnen???

Kommentar von Rhenane ,

Bei 0s hat die Ameise 3 Möglichkeiten, danach noch einmal 3, dann noch 2 Wahlmöglichkeiten um ein Rechteck zu laufen. Die restlichen Schritte sind dann "vorprogrammiert".

Es gibt also 3*3*2=18 Möglichkeiten. Bei 4 Möglichkeiten entscheidet sich die Ameise insgesamt dreimal dafür geradeaus zu laufen (ersten 3 Schritte: ggl, ggr, glg, grg). Diese 4 Rechtecke haben also die gleiche Wahrscheinlichkeit. Bei den restlichen 14 läuft die Ameise zweimal geradeaus und viermal links/rechts.

Also:

p=4 * 0,2³ * 0,4³ + 14 * 0,2² * 0,4⁴

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